גאומטריה היפרבולית – הבדלי גרסאות

[[קובץ:Hyperbolic triangle.svg|ממוזער|250px|שמאל|[[משולש]] על [[משטח (טופולוגיה)|משטח]] היפרבולי]]

במהלך השנים שאחרי פרסום ה[[ספר]] "[[יסודות (ספר)|יסודות]]" של אוקלידס (שלימים היווה את הבסיס לגאומטריה שנקראת על שמו: "[[גאומטריה אוקלידית]]"), הייתה מקובלת התחושה שאקסיומת המקבילים (הקובעת שדרך נקודה שמחוץ לישר עובר קו [[ישרים מקבילים|מקביל]] אחד ויחיד) אינה 'טבעית' ומובנת מאליה כמו שאריתר האקסיומות של ה[[גאומטריה]]. תחושה זו הביאה לניסיונות חוזרים ונשנים [[הוכחה|להוכיח]] את האקסיומה החמישית כמשפטכ[[משפט (מתמטיקה)|משפט]] גאומטרי. כל הניסיונות מסוג זה נכשלוכשלו, עד שב[[המאה ה-19|מאה ה-19]], ה[[מתמטיקאי]]ם [[קרל פרידריך גאוס|גאוס]], [[יאנוש בולאי|בולאי]] ו[[ניקולאי איוונוביץ' לובצ'בסקי|לובצ'בסקי]] הגיעו במקביל למסקנה(כל אחד בנפרד) ל[[מסקנה]] שהאקסיומה החמישית אינה נובעת מן האקסיומות האחרות. הם הבינוהגיעו להבנה, שניתן להחליף את האקסיומה המקובלת בזו המצוינת לעיל, ולקבל מבנה גאומטרי עשיר ומעניין, גם אם שונה מהגאומטריה האוקלידית המוכרת. אחד ההבדלים הבולטים הוא שבגאומטריה היפרבולית, [[משולש|סכום הזוויות במשולש]] קטן מ-180 [[מעלה (זווית)|מעלות]].

הדרך הטובה ביותר להשתכנע שהתורהשה[[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] החדשה [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]], (כלומר, שאין בה [[סתירה (לוגיקה)|סתירות,]]) היא לבנות [[מודל (מתמטיקה)|מודל]] שלה במסגרת [[תאוריה]] אחרת, מקובלת יותר. פירושו של דבר הוא, שבמסגרת התאוריה הוותיקה, בוחרים קבוצה שתייצג את המישור ההיפרבולי, ומאפיינים את הנקודותה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] ואת הקויםהקווים הישרים במישור זה. כל שנדרש מן המודל הוא שהקויםשהקווים והנקודות שלו יקיימו את האקסיומות של התורה החדשה. אם קיים מודל כזה, אז העקביות של התאוריה החדשה נובעת מזו של התאוריה הישנה.

באופן צפוי (אך [[אירוניה|אירוני]]), המודלים המקובלים לגאומטריה ההיפרבולית הם במסגרת הגאומטריה האוקלידית. יש להבין, שקיומם של מודלים כאלה מוכיח כי '''אם''' הגאומטריה האוקלידית עקבית, הרי שבהכרח תכונה זו חלה גם על הגאומטריה ההיפרבולית. זו כשלעצמה [[הוכחה]] שאקסיומת המקבילים (האוקלידית) [[עצמאות (לוגיקה מתמטית)|בלתי תלויה]] באקסיומות הגאומטריות האחרות. (העקביות של הגאומטריה האוקלידית עצמה נשענת על העקביות של [[תורת הקבוצות האקסיומטית|תורת הקבוצות]], דרך המודל הסטנדרטי של [[המרחב האוקלידי]]).

את המישור ההיפרבולי ניתן לאפיין, כמרחב עם [[תבנית דיפרנציאלית]], כ[[משטח רימן]] [[מרחב מטרי שלם|שלם]] [[תחוםמרחב פשוט קשר|פשוט קשר]] בעל [[עקמומיות]] <math>\ -1</math> בכל נקודה. מבחינה טופולוגית, הוא מהווה [[מרחב כיסוי אוניברסלי|כיסוי אוניברסלי]] לכל משטח רימן בעל עקמומיות קבועה ושלילית.

למישור ההיפרבולי יש כמה מודלים מקובלים, שכולם ניתנים לתיאור ובניהובנייה במסגרת הגאומטריה האוקלידית.: במודל הראשון,
* '''[[מודל הדיסק]]''' של [[אנרי פואנקרה|פואנקרה]] (שהתגלה ב-[[1868]] על ידי [[יוגנו בלטרמי|בלטרמי]], {{אנ|Eugenio Beltrami}}), המישור ההיפרבולי הוא [[עיגול]], ששפתו היא [[מעגל]] מסוים. הקווים הישרים במודל זה הם כל ה[[קשת (גאומטריה)|קשתות]] של מעגלים שהם [[אנך|מאונכים]] למעגל השפה, וכן ה[[קוטר|קטרים]] של העיגול.

* במודל של [[הנדריק לורנץ]], המישור ההיפרבולי הוא המחצית העליונה של ה[[יריעה]] <math>\ x^2+y^2-z^2=1</math>, כאשר כל קו ישר הוא [[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] של היריעה עם מישור (אוקלידי) העובר דרך [[ראשית הצירים]].
** מגרסה [[מרחב תלת-ממדי|תלת-ממדית]] של מודל זה אפשר לגזור את '''[[מודל הדיסק של קליין]]'''.

* המודל הרביעי, גם הוא מיוחס לפואנקרה, הוא החשוב ביותר. זהו מודל '''[[חצי המישור העליון]]''', שבו המישור ההיפרבולי מזוהה עם החצי <math>\ \{z : \Im(z)>0\}</math> של [[המישור המרוכב]], והקויםוהקווים הישרים הם חצאי מעגלים המאונכים לציר ה- xX, והישרים המקבילים לציר ה- yY. במודל זה מוגדרת [[מטריקה]] היפרבולית לפי התבנית הדיפרנציאלית <math>\ ds=\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{y}</math>.