מערכת האקסיומות של הילברט – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תיקון תקלדה של אות במשפט III.3 !, קישורים פנימיים, עיצוב, שינוי המילה הלא נכונה "מכיל" (תוכן קבוצה) ל"כולל" (האיבר עצמו), הסרת רווחים אחרי מקף ועוד... |
מ תיקון מהעריכה האחרונה – לא תבנית "{{דרוש מקור}}", אלא תבנית "{{דרושה הבהרה}}", לגבי אקסיומה III.1. |
||
שורה 6:
== מערכת האקסיומות ==
=== האובייקטים היסודיים ===
האקסיומות מתייחסות לשלושה סוגי אובייקטים, שאינם [[הגדרה|מוגדרים]]:
* "'''נקודה'''" – אובייקט שאפשר לראות בו [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] גאומטרית
שורה 20 ⟵ 18:
=== רשימת האקסיומות ===
לשם נוחות הקריאה, נעשה שימוש במושגים נרדפים ל-"הנקודה a שייכת לישר L", כגון "הישר L עובר דרך הנקודה a" או "הישר L כולל את הנקודה a"; וכן לגבי ישרים ומישורים, ונקודות ומישורים.
==== I. שייכות ====
'''I.1'''. לכל שתי נקודות, קיים ישר העובר דרך שתיהן.
שורה 42 ⟵ 38:
==== II. סדר ====
'''II.1'''. אם הנקודה b נמצאת בין הנקודות a ו-c, אז היא נמצאת גם בין הנקודות c ו-a, ושלוש הנקודות מונחות על אותו ישר.
שורה 52 ⟵ 47:
==== III. חפיפה ====
'''III.1'''. לכל שתי נקודות a ו-b, ונקודה c על ישר L, יש בדיוק שתי נקודות, d ו-e, על L, כך ש-c נמצאת בין d ו-e, והקטעים ab, cd ו-ce חופפים זה לזה (שווים באורכם) (הקצאת קטע על ישר).{{
▲'''III.1'''. לכל שתי נקודות a ו-b, ונקודה c על ישר L, יש בדיוק שתי נקודות, d ו-e, על L, כך ש-c נמצאת בין d ו-e, והקטעים ab, cd ו-ce חופפים זה לזה (שווים באורכם) (הקצאת קטע על ישר).{{דרוש מקור|סיבה = אני חושב שהניסוח של משפט זה לא מדויק וזהיר מספיק. האמנם אין התניות על שונות (זרות) של הנקודות?! אגב, הניסוח המקביל בערך באנגלית עוד יותר ארוך ומסובך.}}
'''III.2'''. אם ab חופף ל-cd ול-ef, אז cd חופף ל-ef ([[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיביות]] של חפיפת קטעים).
שורה 64 ⟵ 58:
==== IV. הקבלה ====
'''IV.1''' . לכל ישר L ונקודה a שמחוץ לו, ומישור הכולל את a ואת L, קיים לכל היותר ישר אחד במישור הכולל את a ואינו כולל אף נקודה של L ([[אקסיומת המקבילים|'''אקסיומת המקבילים''']]).
==== V. רציפות ====
'''V.1''' לכל קטע cd וקרן ab, קיים [[מספר טבעי]] n ונקודות <math>\ a_1,\dots,a_n</math> שעל הקרן, כך שהקטעים <math>\ a_j a_{j+1}</math> כולם חופפים ל-cd, וכך ש-b נמצאת בין a ו-<math>\ a_n</math> ([[תכונת ארכימדס]]).
שורה 74 ⟵ 66:
=== תחולה והערות ===
מערכת האקסיומות שהוצגה לעיל מתארת את [[גאומטריית המרחב]]; דהיינו, הגאומטריה של [[מרחב אוקלידי|המרחב האוקלידי]] התלת-ממדי. אם מסירים את חמש האקסיומות I.4-8 העוסקות במישורים שונים, ומסירים את האזכור למישור מאקסיומה IV.1, מתקבל תיאור אקסיומטי של [[גאומטריית המישור]] האוקלידית.
שורה 90 ⟵ 81:
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld|HilbertsAxioms}}
[[קטגוריה: גאומטריה אוקלידית]]
| |||