המבנה הדק – הבדלי גרסאות

== איבר האנרגיה הקינטית (איבר מסה) ==

 

: <math>T=\frac{p^{2}}{2m}</math>

כאשר m היא מסת החלקיק ו־p הוא ה[[תנע]] הקווי שלו. עם זאת, כאשר מתחשבים ב[[תורת היחסות הפרטית]], האנרגיה הקינטית נתונה בביטוי,

שבו האיבר הראשון הוא סך האנרגיה היחסותית, והאיבר השני הוא [[E=mc²|אנרגיית המנוחה]] של האלקטרון (c היא [[מהירות האור]]), בסימן שלילי. בהנחה שמתקיים

:<math>pc\ll mc^2</math>

:<math>T=mc^2\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{p}{mc}\right)^2-\frac{1}{8}\left(\frac{p}{mc}\right)^4 + O\left(\frac{p}{mc}\right)^6\right]-mc^2</math>

:<math>=\frac{p^{2}}{2m}-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}+\cdots</math>

כלומר, התיקון מסדר ראשון להמילטוניאן הוא:

: <math>H_{\mathrm{kinetic}}=-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}</math>

: <math>E_{n}^{(1)}=\langle\psi^{(0)}_n\vert H'\vert\psi^{(0)}_n\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{(0)}_n\vert p^{4}\vert\psi^{(0)}_n\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{(0)}_n\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{(0)}_n\rangle</math>

 

: <math> E_n = - \frac{e^2}{2 a_0 n^2} </math>

 

 

'''הערה:''' במציאות, <math>p^{4}</math> הוא לא [[אופרטור הרמיטי]] עבור אלקטרונים באטום דמוי־מימן ב[[אורביטל אטומי|אורביטל]]-s (כלומר, <math>l = 0</math>). לשם שימוש ב[[תורת ההפרעות (מכניקת הקוונטים)|תורת ההפרעות]] נדרש שההמילטוניאן המופרע יהיה הרמיטי. בשל כך, ההוכחה למעלה לא ריגורוזית לחלוטין כאשר <math>l=0</math>. עם זאת, השוואה עם התוצאה המדויקת (תוך שימוש ב[[משוואת דיראק]]) מראה שהתוצאה למעלה נכונה עבור התיקון מסדר ראשון אפילו במצב בו <math>l=0</math>.