משפט הגבול המרכזי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ביטול גרסה: התיקון שגוי. |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
'''משפט הגבול המרכזי''' הוא משפט יסודי ב[[תורת ההסתברות]], העוסק בהתפלגות הגבולית
== הגרסה החלשה ==
תהי <math>\ X_1,X_2,\dots</math> סדרה של [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] בלתי תלויים בעלי אותה [[התפלגות]], שיש לה [[תוחלת]] <math>\ \mu</math> ו[[שונות]] <math>\ \sigma^2</math>. נסמן ב- <math>\ \bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n</math> את הממוצע. לפי [[החוק החזק של המספרים הגדולים|החוק החזק שלַמספרים הגדולים]], ה[[גבול_של_סדרה|גבול]]
<math>\ \lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} < z\right) = \Phi(z)</math>, כאשר <math>\ \Phi(z) = \int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt</math>.
שורה 21:
נראה כיצד ממשפט הגבול המרכזי נובע כי אם <math>\ X\sim Bin(n,p)</math> - המשתנה <math>\ X</math> [[התפלגות בינומית|מתפלג בינומית]], אז כאשר <math>\ n</math> גדול מתקיים <math>\ X\approx N(np,npq)</math>, כלומר <math>\ X</math> מתפלג בקירוב כמו משתנה נורמלי עם [[תוחלת]] <math>\ np</math> ו[[שונות]] <math>\ npq</math>, כאשר <math>\ p + q = 1</math>.
ניתן לראות משתנה בינומי <math>\ X</math> כסכום סדרת משתנים מקריים <math>\ Y</math> שכל אחד מהם מקבל 1 בהסתברות <math>\ p</math> ואחרת מקבל 0 ([[ניסוי ברנולי|ניסויי ברנולי]]). התוחלת
<math>\ F_{X}(x)=P\left(X\le x\right)=P\left(\frac{X-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\le\frac{x-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\right)\approx\Phi\left(\frac{x-np}{\sqrt{npq}}\right)=F_Z(x)</math>
| |||