מספר פרמה – הבדלי גרסאות

:''F''₄ = 2¹⁶ + 1 = 65,537,

הם ראשוניים, וקבע (בסביבות [[1640]]) שכל המספרים בסדרה הם ראשוניים. כמאה שנים אחר-כך גילה [[לאונרד אוילר]] שהמספר הבא בסדרה אינו ראשוני: <math>\ F_5 = 2^{2^5}+1=4,294,967,297 = 641 \cdot 6,700,417</math>. יתרה מזו, אוילר הראה שכל גורם ראשוני של <math>\ F_n</math> מוכרח להיות מהצורה <math>\ 2^{n+1}k+1</math> (הוכחה: אם <math>\ 2^{2^n}+1\equiv 0 \pmod{p}</math> אז הסדר של 2 ב[[חבורת אוילר]] של p הוא <math>\ 2^{n+1}</math>, ו[[משפט לגרנז' (תורת החבורות)|לכן]] מספר זה מחלק את סדר החבורה שהוא p-1). הגורם 641 הוא הראשוני החמישי בלבד מהצורה <math>\ 64k+1</math>.

 

אחת התכונות המעניינות של מספרי פרמה הוא הקשר שלהם [[שלוש הבעיות של ימי קדם|לבעיות של ימי קדם]]. [[קרל פרידריך גאוס|גאוס]] הוכיח שניתן [[בנייה בסרגל ובמחוגה|לבנות עם סרגל ומחוגה]] [[מצולע משוכלל]] בן <math>\,p</math> צלעות, כאשר <math>\,p</math> ראשוני, [[אם ורק אם]] <math>\,p</math> הוא ראשוני פרמה. ובאופן כללי ניתן לבנות מצולע משוכלל בן <math>\,n</math> צלעות (כאשר <math>\,n>2</math> ) אם ורק אם n הוא מכפלה של ראשוניי פרמה שונים זה מזה וחזקה כלשהי של 2.

* האם יש מספר אינסופי של מספרי פרמה פריקים?

 

== מקורות ==

{{ltr|

* {{JSTOR|R. D. Carmichael|Fermat Numbers|2971748|American Mathematical Monthly|April 1919}}

</div>

 

[[קטגוריה:תורת המספרים]]