הבדלים בין גרסאות בדף "שדה המספרים המרוכבים"

תיקון קישור לפירושונים
(הגהה)
(תיקון קישור לפירושונים)
במתמטיקה ויישומיה, '''שדה המספרים המרוכבים''' הוא ה[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] שאבריו הם ה[[מספר מרוכב|מספרים המרוכבים]]. כלומר, מספרים שניתן להציג בצורה <math>\ a+bi</math> כאשר a,b הם [[מספר ממשי|ממשיים]], ו-<math>\ i</math> היא '''היחידה המרוכבת''', המקיימת <math>\ i^2=-1</math>. המספרים המרוכבים מתאימים באופן טבעי לנקודות ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]].
 
שדה המספרים המרוכבים, שאותו מקובל לסמן באות <math>\ \mathbb{C}</math>, מכיל את [[שדה המספרים הממשיים]] <math>\ \mathbb{R}</math> - ומהווה [[הרחבת שדות|הרחבה]] מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] 2 מעליו. שדה המרוכבים מתקבל מסיפוח השורש של מינוס אחת לשדה הממשיים, כלומר, <math>\ \mathbb{C}</math> איזומורפי ל[[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ \mathbb{R}[x]/\left(x^2+1\right)</math>.
 
שדה המספרים המרוכבים [[שדה סגור אלגברית|סגור אלגברית]] (ולמעשה, הוא השדה הסגור-אלגברית היחיד מ[[עוצמת הרצף]] שה[[מאפיין של שדה|מאפיין]] שלו 0), כלומר, לכל [[פולינום]] (שאינו קבוע) עם מקדמים מרוכבים, יש שורש מרוכב. כתוצאה מכך, לכל פולינום ממעלה <math>\ n</math> יש בדיוק <math>\ n</math> שורשים (אם לוקחים בחשבון שורשים חוזרים). עובדה זו נקראת לפעמים [[המשפט היסודי של האלגברה]]. בנוסף לזה, שדה המספרים המרוכבים [[מרחב שלם|שלם]] כ[[מרחב מטרי]]. מאידך, קיומם של שורשים ריבועיים למספרים שליליים אינו מאפשר ל[[שדה סדור|סדר]] אותו.
 
==היסטוריה==
יצירתם של המספרים המרוכבים, בתחילת המאה ה-16, מיוחסת ל[[ג'ירולמו קרדאנו]], שנעזר בהם כדי לפתור את ה[[משוואה ממעלה שלישית]]. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי [[רפאל בומבלי]]. באותה עת נחשבו מספרים כאלה ללא אמיתיים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן להם. [[דקארט]], הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של [[לאונרד אוילר|אוילר]] ו[[קרל פרידריך גאוס|גאוס]].
 
== בנייה פורמלית ==
 
את שדה המספרים המרוכבים אפשר לבנות באופן פורמלי כאוסף ה[[זוג סדור|זוגות הסדורים]] <math>\ \mathbb{R}^2</math> של [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]], עם פעולות ה[[חיבור]] וה[[כפל]] המוגדרות לפי <math>\ (x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)</math> ו- <math>\ (x,y)\times(a,b)=(xa-yb,xb+ya)</math>. המבנה המתקבל הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], ש[[איבר יחידה|איבר האפס]] שלו הוא <math>\ (0,0)</math>, ואיבר היחידה הוא <math>\ (1,0)</math>. לכל מספר <math>\ (x,y)</math> יש נגדי, <math>\ (-x,-y)</math>, ואם המספר שונה מאפס יש לו [[איבר הופכי]], <math>\left( \frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2} \right)</math>.{{ש}}
הזוגות מהצורה <math>\ (x,0)</math> מקיימים <math>\ (x,0)+(y,0)=(x+y,0)</math> ו- <math>\ (x,0)\times (y,0)=(xy,0)</math>, ולכן ההתאמה <math>\ x\mapsto (x,0)</math> מהווה [[שיכון של שדות|שיכון]] של [[שדה המספרים הממשיים|שדה הממשיים]] בשדה החדש. לפי הגדרת הכפל, האיבר <math>\ i = (0,1)</math> של השדה החדש מקיים <math>\ i^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1</math>, כך שבשדה הזה - בניגוד למצב בשדה הממשיים - יש שורש למספרים שליליים. (כשרוצים לתת לאות i משמעות אחרת, כגון [[זרם חשמלי|זרם]], משתמשים ב-<math>\ j</math> כתחליף).
 
== תכונות בסיסיות של השדה המרוכב ==
כל איבר בשדה החדש אפשר להציג באופן יחיד בצורה <math>\ x+iy</math> כאשר <math>\ x,y\in \mathbb{R}</math> ממשיים, הנקראים "החלק הממשי" ו"החלק המדומה" של המספר. הפונקציות <math>\ \mathrm{Re}, \mathrm{Im} : \mathbb{C} \to \mathbb{R}</math> מחזירות את החלק הממשי והחלק המדומה, בהתאמה.
 
ההצגה של מספר מרוכב בצורה <math>\ z = x+iy</math>, הנקראת '''ההצגה הקרטזית''', מאפשרת לחשב בקלות את המכפלה באופן מפורש, בעזרת העובדה היסודית <math>\ i^2=-1</math>: <math>\ (a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2)=a_1a_2 + ia_1b_2 + ib_1a_2 + i^2 b_1b_2=a_1a_2 - b_1b_2 + i(a_1b_2+b_1a_2) </math>.
 
ה[[נורמה (מתמטיקה)|נורמה הסטנדרטית]] של שדה המספרים הממשיים, המוגדרת לפי <math>\ \left | (a,b) \right | = \sqrt{a^2+b^2}</math>, מגדירה גם את ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של מספר מרוכב, לפי אותה נוסחה בדיוק: <math>\ |a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}</math>. פונקציה זו, המהווה [[מטריקה|מטריקה ארכימדית]] על השדה, הופכת אותו ל[[מרחב נורמי]] [[מרחב מטרי שלם|שלם]] מעל שדה המספרים הממשיים.
הנורמה המרוכבת היא [[שורש ריבועי]] של [[נורמה (אלגברה)|הנורמה האלגברית]], המוגדרת לפי <math>\ N(z) = z \cdot \bar{z}</math>, כלומר <math>\ N(x+yi) = (x+yi)(x-yi) = x^2+y^2</math>. הנורמה כפלית (<math>\ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|</math>), ושומרת על הצמוד: <math>\ |\bar{z}|=|z|</math>.
 
העובדה שהנורמה (של מספר שונה מאפס) תמיד חיובית מאפשרת לחלק בקלות מספרים מרוכבים: <math>\ \frac{w}{z}=\frac{w \cdot \bar{z}}{z\cdot \bar{z}}=\frac{ w \cdot \bar{z}}{|z|^2}</math>, ובמכנה של ה[[שבר (מתמטיקה)|שבר ]] הזה יש מספר ממשי. מכאן אפשר לקבל גם את הנוסחה המפורשת, <math>\ \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}=\frac{(x_1x_2+y_1y_2)+(x_2y_1-x_1y_2)i}{x_2^2+y_2^2}</math>.
 
==הצגה קוטבית והמישור המרוכב==
אפשר להתאים את המספר המרוכב <math>\ x+yi</math> לקואורדינטה הקרטזית <math>\ (x,y)</math> במישור <math>\ \mathbb{R}^2</math>. את המישור אפשר לתאר גם באמצעות [[קואורדינטות פולריות]], הכוללות, עבור כל נקודה, את ה[[מרחק]] שלה מראשית הצירים ואת ה[[זווית]] בין הקטע המחבר את ראשית הצירים לנקודה, לבין ציר ה-<math>\ x</math>. הערך המוחלט של מספר מרוכב מייצג את מרחקו מראשית הצירים (ע"פ [[משפט פיתגורס]]), ואילו הזווית ניתנת לחישוב באמצעות פונקציית ה[[טנגנס]]: <math>\tan(\theta) = \frac{y}{x}</math> עבור מספרים מרוכבים שנמצאים ברביע הראשון או הרביעי (כלומר <math>\ \mathrm{Re}(z) > 0</math>), ואילו עבור מספרים שנמצאים ברביע השני או השלישי (<math>\ \mathrm{Re}(z) < 0</math>) הזווית תהיה <math>\pi - \arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math> (שכן לפונקציית tan יש מחזור <math>\pi</math>).
 
עבור מספרים מרוכבים עם חלק ממשי אפסי וחלק מדומה חיובי הארגומנט יהיה <math>\pi:2</math> ועבור מספרים מרוכבים עם חלק ממשי אפסי וחלק מדומה שלילי הארגומנט יהיה <math>-(\pi:2)</math>.
 
עבור 0 הזווית אינה מוגדרת (או לחלופין כל זווית היא לגיטימית).
* '''[[משפט דה מואבר]]''': לכל <math>n\in\mathbb {N}</math> מתקיים <math>(r\operatorname{cis}\theta)^n=r^n\operatorname{cis}(n\theta)</math>.
 
* '''[[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]]''': לכל <math>\theta\in\mathbb {R} </math> מתקיים: <math> \!\, e^{i \theta}=\cos{\theta} + i \sin{\theta} </math>. מנוסחה זו נובעת גם שתי הזהויות הבאות:
** <math>\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}</math>
** <math>\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}</math>