קבוצה סדורה צפופה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הגהה, עיצוב
אין תקציר עריכה
שורה 1:
{{פירוש נוסף|נוכחי=קבוצה שהיא צפופה במונחי הסדר|אחר=צפופה במובן הטופולוגי|ראו=[[קבוצה צפופה]]}}
ב[[תורת הקבוצות]], [[קבוצה סדורה]] היא '''צפופה''' אם בין כל שני איברים שלה, יש איבר נוסף. כל קבוצה צפופה, [[קבוצה בת מנייה|בת-מניה]], שאין לה איבר ראשון או אחרון, היא איזומורפית-סדר ל[[שדה המספרים הרציונליים|רציונליים]].
 
קבוצה A שקיים עליהעם [[סדר חלקי]] נקראת "צפופה" אם לכל <math>x,<y\isin A</math> שעבורם מתקיים <math>\!\,x<y</math> קייםיש <math>\!\,z\isin A</math> כך ש-<math>\!\,x<z<y</math>. בקבוצה צפופה אין משמעות למושג "האיבר הקטן ביותר הגדול מ-x", משום שלכל איבר הגדול מ-x, יש איבר נוסף ביניהם. בפרט, בין כל שני איברים בקבוצה צפופה יש אינסוף איברים אחרים.
 
לדוגמה, קבוצת [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]] צפופה: ה[[ממוצע חשבוני|ממוצע החשבוני]] של כל שני מספרים רציונליים הוא רציונלי. לעומתםלעומתה, קבוצת ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]] אינה צפופה: אין מספר טבעי בין 1 ל-2. ניתן להראות שכל קבוצה צפופה, [[קבוצה בת מנייה|בת-מניה]], שאין לה איבר ראשון או אחרון, היא איזומורפית-סדר לרציונליים, כלומר קיימת [[פונקציה שומרת סדר]], [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכית]], ועל, ממנה לרציונליים.
 
== תת-קבוצה צפופה ==
יש מושג קשור, תת-קבוצה צפופה בקבוצה: בהינתן קבוצה סדורה ותת קבוצה שלה, <math>B \sub A</math>, נאמר ש <math>B</math> צפופה ב-<math>A</math>, אם בין כל שני איברים של <math>A</math> יש איבר של <math>B</math>, כלומר לכל <math>x,y\isin A</math> שעבורם מתקיים <math>\!\,x<y</math>, קיים <math>\!\,z\isin B</math> כך ש-<math>\!\,x<z<y</math>. באופן טריביאלי, אם קבוצה אחת צפופה בשנייה, שתי הקבוצות בעצמן צפופות.
 
יש מושג קשור, תת-קבוצה צפופהB בקבוצה: בהינתןשל קבוצה סדורה ותת קבוצה שלה, <math>B \sub A</math>, נאמרהיא ש <math>B</math>'''תת-קבוצה צפופה ב-<math>A</math>''', אם בין כל שני איברים של <math>A</math> יש איבר של <math>B</math>, כלומר לכל <math>x,y\isin A</math> שעבורם מתקיים <math>\!\,x<y</math>, קיים <math>\!\,z\isin B</math> כך ש-<math>\!\,x<z<y</math>. באופןקבוצה טריביאלי,היא צפופה (במובן שהוגדר לעיל) אם ורק אם היא צפופה כתת-קבוצה אחתשל עצמה. אם B צפופה בשנייהב-A, שתיאז הקבוצותכל בעצמןאחת צפופותמהן מוכרחה להיות צפופה.
 
[[קטגוריה:קבוצות סדורות]]