דמיון משולשים – הבדלי גרסאות

נוספו 5,004 בתים ,  לפני 6 שנים
מ
שוחזר מעריכות של 46.117.221.30 (שיחה) לעריכה האחרונה של Lionster
(החלפת הדף בתוכן "שירן כהן הייתה פה * קטגוריה:משולש קטגוריה:יחסי שקילות en:Similarity (geometry)#Similar triangles")
מ (שוחזר מעריכות של 46.117.221.30 (שיחה) לעריכה האחרונה של Lionster)
[[קובץ:Similar triangles.png|שמאל|ממוזער|300px|משולשים דומים]]
שירן כהן הייתה פה
'''משולשים דומים''' הם שני [[משולש]]ים שקיים ביניהם יחס ה[[דמיון (גאומטריה)|דמיון]], כלומר, הם מקיימים את התנאים הבאים:
*
* שלוש ה[[זווית|זוויות]] של שני המשולשים שוות בהתאמה. במשולשים <math>\triangle ABC</math> ו- <math>\triangle DEF</math> בציור שמשמאל מתקיים: הזווית <math> \angle BAC</math> שווה בגודלה לזווית <math>\angle EDF</math> , הזווית <math>\angle ABC</math> שווה בגודלה לזווית <math>\angle DEF</math>, והזווית <math>\angle ACB</math> שווה בגודלה לזווית <math>\angle DFE</math>.
* ה[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין ה[[צלע (גאומטריה)|צלעות]] המתאימות של שני המשולשים שווה עבור שלושת זוגות הצלעות. במשולשים <math>\triangle ABC</math> ו- <math>\triangle DEF</math> בציור שמשמאל מתקיים <math> {AB \over DE} = {BC \over EF} = {AC \over DF}</math>
די בכך שהמשולשים מקיימים את אחד התנאים, משום שקיום אחד התנאים גורר את קיום התנאי האחר.
 
אינטואיטיבית, במשולשים דומים משולש אחד הוא בעצם הגדלה של המשולש השני, הגדלה שבה כל הפרופורציות של המשולש המקורי נשמרות.
 
כאשר שני משולשים, <math>\triangle ABC</math> ו- <math>\triangle DEF</math>, דומים, מסמנים זאת בצורה: <math>\triangle ABC\sim\triangle DEF \, </math>, כאשר הקודקודים המתאימים הם באותו סדר (כלומר זווית A שווה לזווית D{{כ}}, B ל-E ו-C ל-F).
 
[[משולשים חופפים]] הם [[מקרה פרטי]] של משולשים דומים, המתקיים כאשר היחס בין הצלעות המתאימות במשולשים שווה ל-1.
 
כדי להוכיח דמיון מספיק שיתקיים אחד משלושת התנאים הבאים:
* שתי זוויות שוות בהתאמה. כלומר לשני המשולשים יש אותן שתי זוויות. כיוון שבמשולש יש 180 מעלות, מתנאי זה נובע ששלוש הזוויות בשני המשולשים שוות בהתאמה, כיוון שבכל אחד משני המשולשים הזווית השלישית שווה ל-180 פחות שתי הזוויות האחרות במשולש.
* שלושת ה[[יחס (בין מספרים)|יחסים]] בין הצלעות המתאימות שווים. כלומר ניתן לסדר את המשולשים בצורה כזו שמתאימים לכל צלע במשולש אחד צלע במשולש השני כך שחלוקה של גודל של אחד בגודל של השני תיתן את אותו קבוע עבור שלושת זוגות הצלעות.
* שני יחסים בין הצלעות והזווית בין שתי צלעות אלו.
 
[[קובץ:Triangle midpoints.svg|שמאל|ממוזער|150px|הקו DE, המקביל לצלע AB, יוצר משולש <math>\triangle CDE</math> הדומה למשולש <math>\triangle CAB</math>]]
במשולשים דומים, בין אורכי הצלעות של המשולש האחד ואורכי הצלעות של המשולש השני קיים [[יחס (בין מספרים)|יחס]] קבוע. היחס בין שטחי המשולשים שווה ל[[ריבוע (חזקה)|ריבוע]] היחס שבין הצלעות, ויחס ה[[היקף|היקפים]], ה[[גובה (גאומטריה)|גבהים]], ה[[תיכון (גאומטריה)|תיכונים]] ו[[חוצה זווית|חוצי הזווית]] שווה ליחס בין הצלעות.
 
כאשר במשולש מעבירים קו ה[[ישרים מקבילים|מקביל]] לאחת הצלעות, הוא יוצר משולש דומה למשולש המקורי (תכונה זאת ידועה גם בשם [[משפט תאלס#הרחבה שנייה|משפט תאלס המורחב]]).
 
[[יחס]] הדמיון הוא [[יחס שקילות]].
 
קיומם של משולשים דומים שאינם חופפים שקול ל[[אקסיומת המקבילים]]. כלומר, משולשים דומים קיימים רק ב[[גאומטריה אוקלידית|גאומטריה האוקלידית]].
 
העובדה שבמשולשים דומים היחסים בין הצלעות המתאימות שווים מאפשרת למדוד את גובהם של עצמים גבוהים באמצעות מדידת [[צל]]ם, ולהשתמש ב[[יחס (בין מספרים)#ערך משולש|ערך משולש]]. כפי שמוסבר ב[[תלמוד]]: {{ציטוטון|והרוצה לידע כמה גובהו של דקל מודד קומתו וצלו וצל קומתו וידע כמה גובה של דקל|{{בבלי|ערובין|מג|ב}}}}.
 
==ראו גם==
* [[משפט תאלס#המשפט הראשון|משפט תאלס הראשון]]
 
[[קטגוריה:משולש]]