פתיחת התפריט הראשי

שינויים

נוספו 429 בתים ,  לפני 3 שנים
כל הערך: הוספת המון קישורים פנימיים, הגהה ופיסוק, המרות מתמטיקה מטקסט ל-LaTeX.
ב[[מתמטיקה]], הביטוי '''מוגדר היטב''' מתאר את האופן שבו בנויה [[הגדרה]] מתמטית - העשויה להיות בנויה כראוי, ולתאר את מה שהיא מתיימרת לתאר, או להיות רק מראית-עין של הגדרה, הכתובהשכתובה על-פי כללי התחביר המתמטיים, ואינהאך אינה מגדירה בפועל דבר.
 
בדרך כלל, הגדרה מתמטית מתייחסת ישירות לעצם המוגדר, ואינה טעונה בדיקה. למשל, "במספרים השלמים, ה''עוקב'' של x הוא המספר x+1": מכיוון שבמערכתשב[[חוג המספרים השלמים|מערכת המספרים השלמים]] ניתן [[חיבור|לחבר]], הערךה[[ערך (מתמטיקה)|ערך]] של x+1 מוגדר באופן חד-משמעי. עם זאת, ישנם מצבים שבהם ההגדרה מסתמכת על טענות[[הנחה (לוגיקה)|הנחות]] סמויות, שאותן יש לוודא על-מנת שההגדרה תהיה תקפה. ישנם כמה מצבים שכיחים, שבהם יש להשקיע מאמץ מסוים כדי להראות שהעצם שאותו רוצים להגדיר אכן מוגדר היטב.
 
== בחירת נציגים ==
לעתים, ישנן כמה אפשרויות להציג אובייקט מסוים, ואז, אם רוצים לבצע על אובייקטים כאלה פעולה מסוימת, יש לוודא קודם לכן שהתוצאה אינה תלויה בנציגים שבוחרים. לדוגמה, אם נגדיר ש"ה''גובה'' של [[מספר רציונלי]] <math>\ \frac{a}{b}</math> הוא <math>\ a+b</math>". לכאורה, הוגדר כאן הגובה של כל [[מספר רציונלי]]. בפועל, מספר רציונלי איננו קובע באופן יחיד את זוג המספרים <math>\ a</math> ו- <math>\ b</math>, משום שאפשר [[צמצום שברים|לצמצם]] ולהרחיב שברים, ולכן ההגדרה פגומה: הגובה של <math>\ \frac{2}{3} = \frac{6}{9}</math> הוא, כביכול, גם 5 וגם 15. זוהי תופעה כללית, המתרחשת כל אימת שמגדירים גודל מסוים עבור [[מחלקת שקילות|מחלקות שקילות]] של [[יחס שקילות]] באמצעות '''בחירה של נציגים'''. כדי להראות שהגודל מוגדר היטב, יש להוכיח שבחירת הנציגים אינה חשובה, ומתקבלת אותה תוצאה לכלעבור כל נציג. למשל, כאשר מגדירים את החיבור של שברים לפי הנוסחה <math>\ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}</math>, יש לוודא שחיבור השברים <math>\ \frac{\lambda a}{\lambda b} + \frac{\mu c}{\mu d}</math>, לפי אותה נוסחה, יחזיר את אותו מספר רציונלי.
 
דוגמאות נוספות:
* על מנת להגדיר [[חיבור]], [[כפל]] ו[[חזקה (מתמטיקה)|העלאה בחזקה]] על [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמות]], יש לוודא שהתוצאה אינה תלויה בבחירת ה[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]], שעוצמתן שוות לעוצמות הנתונות, עליהן מבצעים את הפעולה.
* [[פונקציה|פונקציית]] ה[[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]] מוגדרת כיחסכ[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין הניצב ליתר ב[[משולש ישר-זווית]]. הפונקציה מוגדרת היטב, ואינה תלויה בבחירת המשולשה[[משולש]], כיוון שאם לשני משולשים אותן [[זווית|זוויות]], אז הם [[משולשיםדמיון דומיםמשולשים|דומים]] והיחס בין הצלעות הוא קבוע.
 
== תכונות של אובייקט ==
 
"אם G [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], יהי <math>\ \phi: G \rightarrow G</math> ה[[אוטומורפיזם]] המוגדר לפי <math>\ \phi(g) = g^{-1}</math>". לכל [[איבר (מתמטיקה)|איבר]] <math>\ g\in G</math>, האיבר ההפוך <math>\ g^{-1}</math> קיים; אבל הנוסחה הזו עדיין אינה הופכת את <math>\ \phi</math> לאוטומורפיזם, אף על פי שההגדרה טוענת שזה האובייקט שהתקבל (ואכן, <math>\ \phi</math> אינו בהכרח אוטומורפיזם). במקרה כזה, אפשר לומר "<math>\ \phi</math> מוגדר היטב משום ש- G [[חבורה אבלית]]" (תכונת האבליות של G אכן מבטיחה שהפונקציה תהיה אוטומורפיזם).
 
== הנחת קיום סמויה ==
 
"עבור מספר שלם <math>\ n</math>, נגדיר את ''המחצית השלמה'' של <math>\ n</math> להיות המספרה[[מספר שלם|מספר השלם]] <math>\ m</math>, המקיים <math>\ 2m = n</math>". - ברורמובן שלא תמיד קיים מספר שלם כזה, ולכן ההגדרה פגומה. כך גם ההגדרה''שומר'' של מספר שלם <math>\ n</math> הוא המספר השלם הגדול ביותר שסכום [[ספרה|ספרותיו]], ועוד מספר ספרותיו, שווה ל-<math>\ n</math>" - אמנם קיים מספר כזה, אבל טענה זו אינה כה מובנת מאליה; לכן, יש לבדוק שה"שומר" הוגדר היטב.
 
[[קטגוריה:מושגים במתמטיקה]]