המבנה הדק – הבדלי גרסאות

ב[[פיזיקה אטומית]], '''תיקוני המבנה הדק''' מתארים את פיצול [[הרחבות ספקטרליות|הקווים הספקטרליים]] של [[אטום|אטומים]], בעיקר עקב אפקטים [[תורת היחסות|יחסותיים]] מסדר ראשון ו[[אינטראקציית ספין-מסלול]].

הספקטרום הראשי של [[אטום המימן]] הוא הספקטרום המצופההצפוי ללא תיקונים [[תורת היחסות|יחסותיים]] וללא התייחסות ל[[ספין]] והשפעותיו. עבור אטום המימן רמות האנרגיה בספקטרום הראשי מושפעות רק מ[[אטום המימן#מאפיינים מתמטיים של הפתרון|מהמספרהמספר הקוונטי]] הראשי]], n ואילו מודל מדויק יותר יקח בחשבון גם אפקטים יחסותיים ואפקטים הקשורים בספין ה[[אלקטרון|האלקטרון]]. כאשר מתחשבים באפקטים אלו נעלם [[ניוון (פיזיקה)|ניוון]] רמות האנרגיה הנחזה [[משוואת שרדינגר|ממשוואת שרדינגר]] והקווים הספקטרליים מתפצלים.

גודל תיקון המבנה הדק קטן פי ²(''Zα''), כאשר ''Z'' הוא [[מספר אטומי|המספר האטומי]] ו-''α'' הוא [[קבוע המבנה העדין|קבוע המבנה הדק]], מספר חסר יחידות השווה בקירוב לל־<math>\tfrac{1/}{137}</math>.

המבנה הדק מורכב משלושה איברי תיקון: איבר [[אנרגיה קינטית|האנרגיה הקינטית]] (מכונה גם "איבר מסה"), איבר צימוד ספין-מסלול, ו"איבר דרווין". ה[[המילטוניאן|ההמילטוניאן]] המלא נתון על ידי:

:<math>E_{n}^{(1)}=-\frac{E_{n}^{2}}{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l\ell+1/2}-3\right)</math>

כאשר <math>l\ell</math> הוא [[אטום המימן#מאפיינים מתמטיים של הפתרון|המספר הקוונטי של התנע הזוויתי]].

מכאן, ש[[סדר גודל|סדר הגודל]] של התיקון היחסותי לאנרגיה הוא <math> -9.056 \times 10^{-45}\ \text{eV}</math>.

:<math>V=\frac{e^{2}}{r}\ ; \ \langle V\rangle=\frac{-e^{2}}{a_{0}n^{2}}\ ; \ \langle V^{2}\rangle=\frac{e^{4}}{(l\ell+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}</math>

: <math>E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}\left(E_{n}^{2}+2E_{n}\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}} +\frac{e^{4}}{(l\ell+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}\right)=-\frac{E_{n}^{2}}{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l\ell+1/2}-3\right)</math>

'''הערה:''' במציאות, <math>p^{4}</math> הוא לא [[אופרטור הרמיטי]] עבור אלקטרונים באטום דמוי־מימן ב[[אורביטל אטומי|אורביטל]]-s (כלומר, <math>l\ell = 0</math>). לשם שימוש ב[[תורת ההפרעות (מכניקת הקוונטים)|תורת ההפרעות]] נדרש שההמילטוניאן המופרע יהיה הרמיטי. בשל כך, ההוכחה למעלה לא ריגורוזית לחלוטין כאשר <math>l\ell=0</math>. עם זאת, השוואה עם התוצאה המדויקת (תוך שימוש ב[[משוואת דיראק]]) מראה שהתוצאה למעלה נכונה עבור התיקון מסדר ראשון אפילו במצב בו <math>l\ell=0</math>.

איבר התיקון השני, איבר הצימוד [[ספין]]-ממסלול, נובע מעבודה [[מערכת יחוסייחוס|במערכת היחוסהייחוס]] של האלקטרון בה האלקטרון נייח ואילו הגרעין מקיף אותו לעומת מערכת היחוס הסטנדרטית בה ה[[אלקטרון]] מקיף את הגרעין.

נשיםבפועל, לבהתיקון כיהזה ישנואינו פקטורמדויק, ויש להכפיל אותו במקדם <math>\frac {1}{2}</math>. לתיקוןמקדם זה. הפקטור הזה נובע מכךהעובדה שעברנו למערכת היחוס הלא אינרציאלית של האלקטרון. תוספתהוא זו התגלתההתגלה על ידי [[לואלין תומאס]] והיאונקרא "מקדם תומאס" נקראת(או: "פקטור תומאס") על שמו.

מכיוון ששמתקיים

: <math> \left\langle \frac {1}{r^3} \right\rangle = \frac {1}{n^3 a_0^3} \frac {1} {l\ell (l\ell+\frac{1}{2}) (l\ell + 1)}</math>

: <math> \left\langle \vec L \cdot \vec S \right\rangle = \frac {\hbar^2} {2} ( j(j+1) - l\ell(l\ell+1) - s(s+1) )</math>

: <math> \left\langle H_{SO} \right\rangle = \frac{E_n{}^2}{m_e c^2} \left( n \frac{j(j+1)-l\ell(l\ell+1)-\frac{3}{4}}{l\ell \left( l+\frac{1}{2}\right) (l\ell+1) } \right)</math>

'''הערה: ''' רמות האנרגיה תלויות ב[[היחס הג'ירומגנטי|בפקטורפקטור הג'ירומגנטי]], שהוא גודל הקושר בין המומנט המגנטי <math>\mu</math> לספין <math>s</math> והוא אחת מתכונות החלקיק. עבור אלקטרון הוא בקירוב <math>2</math>, עבור [[פרוטון]] כ <math>2.79</math> ועבור [[נייטרון]] ערכו <math>-1.91</math>.

רמות האנרגיה <math>(n,l\ell,s)=(n,0,1/2)</math> ו ו־<math>(n,l\ell,s)=(n,1,-1/2)</math> זהות לאחר תיקון המבנה הדק, כאשר משתמשים בפקטור ג'ירומגנטי 2. עבור תיקונים בסדרים גבוהים יותר יש להשתמש בפקטור ג'ירומגנטי של 2.0031904622.

מהכללה לכל סדר של התיקונים היחסותיים ([[משוואת דיראק]]) מוצאים שלזוג רמות האנרגיה האלו יש ניוון (רמות האנרגיה זהות), אך מאוחר יותר נתגלה שאין ניוון כתוצאה מ[[תורת שדות קוונטית|מתורתתורת השדות הקוונטית]].

:: <math> \psi (0) = 0 \text{ for } l\ell > 0 </math>

:: <math> \psi (0) = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}\,2 \left( \frac {Z}{n a_0} \right)^\frac {3}{2} \text{ for } l\ell = 0 </math>

לדוגמה, האיבר נותן למצב 2s את אותה אנרגיה כמו למצב 2p על ידי העלאת מצב 2s בב־<math>9.057\cdot\mbox{10}^{-5}eV</math>.

כאשר <math>j</math> הוא [[מומנט זוויתי כולל|המומנט הזוויתי הכולל]] כש: (<math>j = 1/2</math> אם <math>l\ell = 0</math> ו ו־<math>j = l\ell \pm 1/2</math> אחרת).