פרדוקס ד'אלמבר – הבדלי גרסאות

פרדוקס פיזי מציין פגם בתאוריה. ובכך מכניקת הזורמים איבדה את האמון של מהנדסים מההתחלה, דבר אשר על פי חתן פרס הנובל בכימיה [[סיריל נורמן הינשלווד]], הביא לפיצול מצער - בין ה[[הידראוליקה]], שהייתה התבוננות בתופעות שלא ניתן להסביר, ומכניקת זורמים תאורטית המסבירה תופעות שלא ניתן להבחין בהן.<ref>{{הערה|{{Citation | author= M.J. Lighthill | authorlink=James Lighthill | title=Physics of gas flow at very high speeds | journal=Nature | volume=178 | page=343 | year=1956 |doi=10.1038/178343a0 |bibcode = 1956Natur.178..343. | issue=4529}} Report on a conference.</ref>}}{{ש}}

על פי [[הקונצנזוס המדעי]], הפרדוקס נובע מההשפעות הזניחות של הצמיגות. בשילוב עם ניסויים מדעיים, היו התקדמויות עצומות בתאוריה של חיכוך של זורמים צמיגים במהלך המאה ה-19. ובעניין הפרדוקס, התקדמויות אלו הגיעו לשיאן בגילוי ותיאור של שכבות גבול דקות על ידי [[לודוויג פרנטל]] ב-1904. פרנטל גילה שאפילו במספרי ריינולדס גבוהים מאוד, שכבות הגבול הדקות יישארו כתוצאה מכוחות צמיגות. כוחות הצמיגות הללו גורמות לגרר על גופים.<ref name{{הערה|שם="LandauLifshitz_15">|Landau & Lifshitz (1987), p. 15.</ref><ref name}}{{הערה|שם="Batchelor_264">|[[George Batchelor|Batchelor]] (2000), pp. 264–265, 303, 337.</ref><ref name}}{{הערה|שם="Schlichting_XIX">|{{citation

}}, pp. XIX–XXIII.</ref><ref name}}{{הערה|שם="Veldman2001">|{{citation

מבחינה מעשית, הפרדוקס נפתר בנוסחה שהוצעה על ידי פרנטל.<ref name{{הערה|שם="LandauLifshitz_15" /><ref name}}{{הערה|שם="Batchelor_264" /><ref name}}{{הערה|שם="Schlichting_XIX" /><ref name}}{{הערה|שם="Veldman2001" /><ref name}}{{הערה|שם="Stewartson">|Stewartson (1981).</ref><ref>}}{{הערה|{{citation | first1=R.P. | last=Feynman |authorlink1=R. P. Feynman | first2=R.B. | last2=Leighton | authorlink2=R. B. Leighton | first3=M. | last3=Sands | year=1963 | title=[[The Feynman Lectures on Physics]] | isbn=978-0-201-02116-5 | publisher=Addison-Wesley | location=Reading, Mass. }}, Vol. 2, §41–5: The limit of zero viscosity, pp. 41–9 – 41–10.</ref>}} אך מבחינה פורמלית - מתמטית - חסרה הוכחה. הוכחה זו קשה לספק, כמו בבעיות רבות אחרות בזרימה, כולל [[משוואות נאוויה-סטוקס]] (אשר בהן משתמשים לתאר זרימה צמיגה).

הצעדים הראשונים לקראת פתרון הפרדוקס נעשו על ידי סיינט-ונאנט, שמידל חיכוך נוזל צמיג. סיינט-ונאנט קבע בשנת 1847:<ref>{{הערה|{{citation | last1=Saint-Venant | first1=A. | author1-link=Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant | year=1847 | title=Mémoire sur la théorie de la résistance des fluides. Solution du paradoxe proposé à ce sujet par d'Alembert aux géomètres. Comparaison de la théorie aux expériences | journal=Comptes Rendu des Séances de l'Academie des Science | volume=24 | pages=243–246 | url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29812 | accessdate=2008-08-15}}</ref>}}

זמן קצר לאחר מכן, בשנת 1851, [[ג'ורג' סטוקס|סטוקס]] חישב את הגרר הפועל על כדור בזרימת סטוקס, המכונה [[חוק סטוקס]].<ref>{{הערה|{{citation | author=Stokes, G.G. | title=On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums | journal=Trans. Cambridge Phil. Soc. | volume=9 | pages=8–106 | year=1851 |bibcode = 1851TCaPS...9....8S }}. Reprinted in {{citation | author=Stokes, G.G. | publisher=Cambridge Univ. Press | edition=2nd | volume=3 | work=Mathematical and Physical Papers }}</ref>}} זרימת סטוקס מתרחשת בגבול התחתון של מספרי ריינולדס בהן משוואות נאוויה סטוקס עוסקות.<ref>{{הערה|(Batchelor, 2000, pp. 245–246).</ref>}} עם זאת, כאשר הזרימה מתוארת על ידי המשוואות האל-ממדיות, משוואות נאוויה סטוקס הצמיגות מתכנסות למשוואות אוילר הבלתי צמיגה עבור מספרי ריינולדס גבוהים. דבר זה מעיד שהזרימה צריכה להתכנס לפתרון הבלתי צמיג של זרימה פוטנציאלית – זאת אומרת שאפס הגרר של פרדוקס ד'אלמבר אכן מתקיים. וכמובן שאין שום אימות שהזורם אכן מפעיל אפס גרר בזרימה זו.<ref name{{הערה|שם=Batchelor337>|Batchelor (2000), pp. 337–343 & plates.</ref>}} לכן, שאלות הנוגעות לאמינות של מכניקת זורמים הועלו שוב במחצית השנייה של המאה ה-19.

במחצית השנייה של המאה ה-19, המוקד עבר שוב לכיוון שימוש בתאוריית זרימה לא צמיגה לתיאור של גרר - בהנחה שהצמיגות הופכת להיות פחות חשובה במספרי ריינולדס גבוהים. המודל המוצע על ידי קירכהוף<ref>{{הערה|{{citation

}}</ref>}} וריילי<ref name{{הערה|שם=Rayleigh_1876>|{{citation

</ref>}} היה מבוסס על התאוריה של הלמהולץ<ref>{{הערה|{{citation

}}. Reprinted in: ''Philosophical Magazine'' (1868) '''36''':337–346.</ref>}} ומורכב משובל תמידי מאחורי הגוף. ההנחות אשר חלו על האזור של השובל כוללות: מהירות הזורם שווה למהירות הגוף, ולחץ קבוע. האזור של שובל זה מופרד מהזרימה הפוטנציאלית שמחוץ לגוף ולשובל בעקבות מערבולות סדורות עם קפיצות רציפות במהירות המשיקית על פני הממשק.<ref>{{הערה|Batchelor (2000), pp. 338–339</ref><ref name}}{{הערה|שם=Wu_1972>|{{citation

|bibcode = 1972AnRFM...4..243W }}</ref>}} על מנת לקבל שאין אפס גרור על הגוף, אזור השובל חייב להמשיך עד אינסוף. תנאי זה אכן מתקיים בזרימת קירכהוף בניצב למשטח. התאוריה קובעת בצורה נכונה את כוח הגרר להיות פרופורציונלי לריבוע של המהירות.<ref name{{הערה|שם=Lamb_679>|{{citation

}}</ref>}} בהתחלה, התאוריה יכלה להיות מיושמת רק לזרימות המופרדות בקצוות חדים. מאוחר יותר, בשנת 1907, התאוריה הורחבה על ידי לוי-סיויטה לזרימות המופרדות מגבולות חלקות ומעוגלות.<ref>{{הערה|{{citation

}}</ref>}} היה כבר ידוע שזרימות כאלו אינן יציבות, שכן, המערבולת הסדורות פיתחו אי יציבות קלווין – הלמהולץ.<ref name{{הערה|שם=Wu_1972/>}} אבל מודל זה של זרימה מתמידה נחקר עוד בתקווה שעדיין יוכל לתת אומדן סביר של גרר.

עם זאת, התנגדויות בסיסיות התעוררו כנגד גישה זו: קלווין ציין שאם משטח נע במהירות קבועה דרך הנוזל, המהירות בשובל שווה לזה של המשטח. ההיקף האינסופי של השובל - המתרחב ככל שהמרחק מהמשטח מתרחק כפי שמתקבל מהתאוריה - משמעותו שיש [[אנרגיה קינטית]] אינסופית בשובל. משמעות שאנחנו חייבים לדחות על בסיס פיזיקלי.<ref name{{הערה|שם="Lamb_679" /><ref>}}{{הערה|{{citation

|bibcode = 1894Natur..50..524K }} Reprinted in: ''Mathematical and Physical Papers'' '''4''': 215–230.</ref>}} יתר על כן, הפרש הלחצים הנצפה בין החלק הקדמי והחלק האחורי של המשטח וכוחות הגרר כתוצאה מכך, הם הרבה יותר גדולים מהצפוי: למשטח שטוח בניצב לזרימה מקדם הגרר המחושב הוא <math>C_D=0.88</math>, ואילו בניסויים <math>C_D=2.0 </math>. זאת, בעיקר בשל שאיבה בצד השובל של המשטח, הנגרם על ידי הזרימה הבלתי יציבה בשובל האמיתי (בניגוד לתאוריה שמניחה מהירות זרימה קבועה ששווה למהירות של המשטח).<ref name{{הערה|שם="Batchelor_500">|Batchelor (2000), p. 500.</ref>}} לכן, תאוריה זו אינה מספקת כדי להסביר את הגרר שפועל על גוף בזרימה.

הפיזיקאי הגרמני לודוויג פרנטל הציע בשנת 1904 כי ההשפעות של שכבת גבול צמיגה דקה אולי יכולה להיות המקור של גרר משמעותי.<ref name{{הערה|שם=Prandtl1904>|Prandtl (1904).</ref>}} פרנטל שיער, שבמהירויות גבוהות ומספרי ריינולדס גבוהים, תנאי שפה של אי-החלקה גורם לוריאציה משמעותית של מהירויות הזרימה בשכבה הדקה שבקרבת הגוף. זה מוביל ליצירה של [[ערבוליות]] ופיזור צמיג של אנרגיה קינטית בשכבת הגבול. פיזור האנרגיה, אשר חסרה בתאוריות של זרימה לא צמיגה, מסבירה את ההפרדה של הזרימה על גבי גופים שאינם פשוטים. הלחץ הנמוך באזור השובל יוצרות גרר צורה, אשר יכול להיות גדול יותר מאשר גרר החיכוך בשל [[מאמץ גזירה|לחץ הגזירה]] הצמיגי בקיר.<ref name{{הערה|שם=Batchelor337/>}}

ניתן לראות ראיות לכך שהתרחיש של פרנטל קורה עבור גופים לא פשוטים בזרימה של מספרי ריינולדס גבוהים בזה שניתן לראות בזרימה המתחילה באימפולסיביות סביב גליל. בתחילה הזרימה דומה לזרימה פוטנציאלית, לאחר מכן הזרימה מפרידה ליד נקודת הסטגנציה האחורית. לאחר מכן, נקודות ההפרדה מתחילה לנוע במעלה הזרם , וגורמת לאזור לחץ נמוך של זרימה מופרדת.<ref name{{הערה|שם="Batchelor337" />}}

עם זאת, בשימוש בהשערתו (וגיבויה על ידי ניסויים) פרנטל היה מסוגל להפיק מודל משוער לזרימה בתוך שכבת הגבול, הנקראת תיאורית שכבות-גבול, ואילו הזרימה מחוץ לשכבת הגבול יכולה להיות מטופלת באמצעות התאוריה של זרימה בלתי צמיגה. תיאורית שכבת גבול ניתנת להרחבה אסימפטוטית לקבלת פתרונות מקורבים. במקרה הפשוט ביותר של משטח המקביל לזרימה, תאוריית שכבת-גבול תניב גרר (חיכוך) בעוד שכל תאוריה של זרימה לא צמיגה תחזה גרר אפס. חשוב לציין ל[[אווירונאוטיקה]], התאוריה של פרנטל ניתנת ליישום ישירות לגופים יעילים כמו כנפיים דקים בהם, בנוסף לגרר מהמשטח חיכוך, יש גם גרר צורה אשר נובע מההשפעה של שכבת הגבול הדקה והשובל הדק שנוצר על הפיזור לחצים מסביב לכנפיים דקות.<ref name{{הערה|שם="Schlichting_XIX" /><ref name}}{{הערה|שם="Batchelor_302">|Batchelor (2000) pp. 302–314 & 331–337.</ref>}}

לוודא, כפי שפרנטל הציע, שלגורם בעל משמעות זניחה (השפעת הצמיגות הינה זניחה ככל שמגדילים את מספר ריינולדס) יש השפעה גדולה - גרר משמעותי - עשוי להיות משימה קשה מאוד. המתמטיקאי [[גארט בירקהוף]] בפרק הפתיחה של ספרו הידרודינמיקה,<ref>{{הערה|Garrett Birkhoff, ''Hydrodynamics: a study in logic, fact, and similitude'', Princeton University Press, 1950</ref>}} כותב על מספר פרדוקסים של מכניקת זורמים (כולל פרדוקס ד’אלמבר) ומביע ספק ברור בפתרונות הרשמיים שלהם:

{{ציטוט|תוכן="יתר על כן, אני חושב שלייחס את כולם להזנחה של צמיגות זו פשטנות בלתי מוצדקת. שורש הבעיה טמון עמוק יותר בדיוק בחוסר ההקפדה הדדוקטיבית שחשיבותה ממוזערת בתדירות גבוהה על ידי פיסיקאים ומהנדסים".<ref name{{הערה|שם=autogenerated1>|Birkhoff (1950) p. 21.</ref>}}}}

{{ציטוט|תוכן="בכל מקרה, בסעיפים הקודמים מובהר שהתאוריה של זרימה לא צמיגה אינה שלמה. ואכן, ההיגיון המוביל למושג של "זרימה תמידית" הוא לא חד משמעי , אין שום הצדקה ריגורוזית לביטול הזמן כמשתנה בלתי תלוי . לכן למרות זרימות דיריכלה (פתרונות פוטנציאלים) וזרימות מתמידות אחרות הן מבחינה מתמטית אפשריים, אין סיבה להניח שכל זרימה קבועה היא יציבה".<ref name{{הערה|שם=autogenerated1 />}}}}

{{ציטוט|תוכן="[אני] מתקשה להבין בשביל איזה חלק מהקוראים נכתב הפרק הראשון. לקוראים שמכירים הידרודינמיקה הרוב המוחלט של המקרים שהובאו כפרדוקסים שייכים לקטגוריה של טעויות שמזמן תוקנו, או לקטגוריה של פערים בין התאוריה והניסויים אשר סיבותיהם כבר מובנים היטב. מצד השני ,מאוד צפוי שההדיוטים יקבלו מקריאת פרק זה רושם מוטעה על כמה מההישגים החשובים והשימושיים בהידרודינמיקה".<ref>{{הערה|{{Citation | author=James J. Stoker | url=http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183516308 | title=Review: Garrett Birkhoff, Hydrodynamics, a study in logic, fact, and similitude | journal=Bull. Amer. Math. Soc. | volume=57 | issue=6 | year=1951 | pages=497–499 | doi=10.1090/S0002-9904-1951-09552-X | postscript=. }}</ref>}}}}

במהדורה השנייה והמתוקנת של הידרודינמיקה של בירקהוף, שתי ההצהרות שלעיל לא הופיעו. החשיבות והתועלת של ההישגים שנעשו בנושא פרדוקס ד’אלמבר נבדקו על ידי סטיורטסון שלושים שנה לאחר מכן. המאמר סריקה הארוך שלו מתחיל:<ref name{{הערה|שם="Stewartson"/>}}

לפרדוקסים רבים בפיזיקה, הרזולוציה שלהם לעתים קרובות נמצאת בהתעלות על התאוריה הזמינה.{{הערה|לדוגמה, הפרדוקס של הקביעות של מהירות האור בכל הכיוונים נפתר על ידי תורת היחסות הפרטית.}} במקרה של פרדוקס ד’אלמבר, המנגנון החיוני לפתרונו סופק על ידי פרנטל באמצעות הגילוי והמידול של שכבות גבול צמיגות ודקות - אשר אינם זניחים במספרי ריינולדס גבוהים.<ref name{{הערה|שם=Prandtl1904/>}}

שלוש ההנחות העיקריות בגזירה של פרדוקס ד'אלמבר הן שהזרימה הקבועה היא בלתי דחיסה, לא צמיגה, ואי רוטציונית.<ref>{{הערה|This article חלק 6.4 של Batchelor (2000).</ref>}} נוזל לא צמיג מתואר על ידי משוואות אוילר, אשר לזרימה בלתי דחיסה נראים כדלהלן: