חבורה אבלית חופשית – הבדלי גרסאות

הכוונה כשאומרים שהקבוצההקבוצה <math>\ S=\{e_1,e_2,e_3,e_4,...\}</math> היא '''בסיס''' לחבורה האבלית <math>\ G</math> היא שאת כל האיברים ב-<math>\ G</math> אפשר לכתוב בדרך אחת ויחידה כצירוף לינארי של מספר סופי של איברים ב-<math>\ S</math> מעל [[מספר שלם|המספרים השלמים]] <math>\ \mathbb{Z}</math>., ז"א שלכל איבר יש יצוג יחיד מהצורה <math>\ g = n_1 e_1 + n_2 e_2 + n_3 e_3... \in G</math> כאשר <math>n_i \in \mathbb{Z}</math>. נסמן את עובדת היותו שלהבסיס <math>\ S </math> בסיסאינו עלחייב ידילהיות <math>\[[בן G = \{(S)\}</math>מנייה]].

כדאי לשים לב שחבורה אבלית חופשית היא '''לא''' [[חבורה חופשית]] שהיא גם [[חילופיות|אבלית]]. חבורההמונח '''חופשית''' יכולהמתייחס להיותלאי-קיומם אבלית,של אבליחסים זהבין לאאיברי הופךהחבורה; אותהבחבורה להיותחופשית חבורהאין אבליתכלל חופשית.יחסים חבורהכאלו, ואילו בחבורה אבלית חופשית היאמתקיים תמידיחס חבורההחילוף אבלית,<math> אבלx y = y x </math> ולא מתקיימים יחסים אחרים פרט לזה. החבורה החופשית היחידה שהיא גם אבלית היא יכולהחבורת להיותהשלמים או<math> שלא\mathbb{Z} להיות</math>, חבורההנוצרת חופשיתע"י איבר בודד.

דוגמה, אם ניקח בסיס בעל שני אלמנטים <math>\ S=\{e_1,e_2\}</math> אז איברי החבורה שנוצרת ממנו תהיינהיהיו <math>g_{n_1,n_2} = n_1e_1 + n_2 e_2</math>. אפשר בקלות לראות שמדובר בחבורה [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפית]] ל-<math>\ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}</math>.

למעשה, כל קבוצה <math>\ S</math> יכולה להוות בסיס לקבוצהלחבורה אבלית חופשית. קל להיווכח שחבורה אבלית חופשית היא [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מעל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] המספרים השלמים.