לגראנז'יאן – הבדלי גרסאות

'''הגר, לגראנז'יאן''' (או לגרנג'יאן) הוא [[פונקציה]] המתארת מערכת [[פיזיקה|פיזיקלית]] (בדרך כלל חסרת [[חיכוך]] או [[דיסיפציה]] אחרת), שבעזרתה ניתן לרשום את משוואות התנועה של המערכת. משוואות אלו נקראות [[משוואת אוילר-לגראנז']], והן שקולות ל[[חוקי התנועה של ניוטון|חוק השני של ניוטון]]. יתרונו של הפורמליזם הלגראנז'יאני בכך שהוא מאפשר גזירה פשוטה יותר של משוואות התנועה, ומדגיש את חשיבות ה[[סימטריה]] של המערכת לגבי אופן התנהגותה. פורמליזם אלגנטי זה פותח על ידי [[ז'וזף לואי לגראנז']] ב[[המאה ה-19|מאה ה-19]].

הלגראנז'יאן הוא פונקציה של ה[[זמן]], של [[קואורדינטות מוכללות]] ושל המהירויות. הלגראנז'יאן אינו יחיד: ישנן מספר פונקציות המתארות את אותה המערכת ומקיימות את משוואת אוילר-לגראנז'. בניגוד ל[[המילטוניאן]], הלגראנז'יאן אינו מכמת ערך פיזיקלי כלשהו, אלא מהווה תיאור מתמטי של הגרהמערכת. הדרך הפשוטה ביותר למצוא לגראנז'יאן של מערכת פיזיקלית היא בעזרת [[אנרגיה קינטית]] T ו[[אנרגיה פוטנציאלית]] U של המערכת:

<math>\frac {d}{dhdt} \left( \frac {\partial L}{\partial \dot {h\theta}} \right) = \frac {d}{dhdt} (m l^2 \dot{\theta} + \theta ) = m l^2 \ddot{\theta} + \dot {\theta} = \frac {\partial L}{\partial \theta} = - m g l \sin \theta + \dot {\theta}</math> ומקבלים את אותה משוואת התנועה.