מספר טבעי – הבדלי גרסאות

המספרים הטבעיים הם הקלים ביותר להבנה, והראשונים שנלמדים על ידי ילדים. למספרים טבעיים שלוששתי מטרות:

* '''[[מנייה|ספירה]]''', פירוטלמשל: שמותיש המספריםשלושה הטבעייםתפוחים ברצףעל בשפה נתונההשולחן.

המספרים הטבעיים הם הראשונים שהופיעו כמושגים נבדלים: מספר טבעי מונהסופר את האיברים בקבוצה. אפשר לראות את ההבחנה שיש משהו משותף בקבוצה של שלושה אנשים, שלושה תפוחים או שלושה נמרים כהכללה המתמטית הראשונה שעשו בני האנוש. [[לאופולד קרונקר]] אמר ש"האל יצר את המספרים הטבעיים - כל השאר הוא יציר האדם".

במסגרת היציקה המודרנית של המתמטיקה לשפת [[תורת הקבוצות]], הציע הלוגיקאי [[גוטלוב פרגה]] שהמספר שלוש הוא, בפשטות, קבוצת כל הקבוצות שיש בהן שלושה איברים (היינו, שהאברים שלהן נמצאים בהתאמה לקבוצה מסוימת בת שלושה איברים). בגישה זו יש [[פרדוקס]]ים, הנובעים מכך שאוסף כל הקבוצות הוא מקור לפרדוקסים מחמת גודלו, ואינו יכול להוות קבוצה בפני עצמו (ראו [[פרדוקס קנטור]]). ההצעה של פרגה לוקה בעוד תכונה מוזרה. היות ועצמים שיכולים להיות אברים בקבוצה אינם נצחיים, המספר שלוש משתנה, מרגע לרגע, כי איבריו מתחלפים: כמה מתאיינים וכמה נוספים כאיברים חדשים. כיצד נוכל לבטוח בקיומו של ההיגד 3+2=2+3 אם הקבוצות 2 ו-3 משתנות, אפילו בלי ידיעתנו??