משפט אוילר (גאומטריה) – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תגית: עריכה מיישום נייד
אין תקציר עריכה
שורה 1:
'''משפט אוילר בגאומטריה''', הקרוי של שמו של ה[[מתמטיקאי]] [[לאונרד אוילר]], קובע כי המרחק <math>\ d</math> בין מרכז ה[[מעגל חוסם|מעגל החוסם]] ומרכז ה[[מעגל חסום|מעגל החסום]] של [[משולש]] מקיים: <math>d^2 = R\cdot(R - 2r)</math>, כאשר <math>\ R</math> הוא [[רדיוס]] המעגל החוסם ו-<math>\ r</math> הוא רדיוס המעגל החסום.
 
מנוסחה זו נובע כי: <math>R\ge 2r</math> .
 
==הוכחה==
שורה 10 ⟵ 8:
:<math>\angle IBL = \angle {ABC \over 2} + \angle CBL = \angle {ABC \over 2} + \angle {A \over 2}</math> (זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות האחרות במשולש),
ולכן זווית BIL שווה לזווית IBL, ומכאן BL=IL ו- AI × IL = 2Rr. נאריך את OI משני צדדיו ונסמן את נקודות המפגש ליד O ו-I ב-P ו-Q בהתאמה. מתקיים PI × QI = AI × IL = 2Rr, ומכאן R + d)(R − d) = 2Rr), ולכן (d<sup>2</sup> = R(R − 2r. מש"ל.
 
== הכללות ==
 
משפט אוילר מספק את התנאי לכך ששני מעגלים, שאחד מהם בתוך השני, יהיו המעגל החוסם והמעגל החסום של איזשהו משולש. קיים תנאי דומה לכך ששני מעגלים יהיו המעגל החוסם והמעגל החסום של איזשהו '''מרובע''' (המוכרח להיות במקרה כזה, בעת ובעונה אחת, [[מרובע משיקים]] ו[[מרובע ציקלי]]): <math>\ \frac{1}{(R+d)^2}+\frac{1}{(R-d)^2} = \frac{1}{r^2}</math>.
 
כעת נתבונן בשני מעגלים C,D, כך ש-C מוכל בפנים של D. מנקודה P על D אפשר להעביר משיק ל-C (נאמר בכיוון מחוגי השעון), הפוגע שוב ב-D בנקודה 'P. אם <math>P'''=P</math>, פירושו של דבר הוא ש-<math>P,P',P''</math> הם הקודקודים של משולש החוסם את C וחסום ב-D. אם <math>P''''=P</math>, אז <math>P,P',P'',P'''</math> הם הקודקודים של מרובע החוסם את C וחסום ב-D, וכן הלאה. [[משפט פונסלה]] (על שמו של [[ז'אן-ויקטור פונסלה]], {{אנ|Jean-Victor Poncelet}}) קובע שאם <math>\ P^{(n)} = P</math> לנקודה P כלשהי כל D (כאשר הסדרה <math>\ P^{(n)} = {P^{(n-1)}}'</math> מוגדרת באינדוקציה), אז תכונה זו נכונה לכל נקודה P על D; כלומר, העובדה שהעברת משיק n פעמים חוזרת לנקודת ההתחלה היא תכונה של המעגלים C,D, ולא של הנקודה P. המשפט מתקיים אפילו אם C,D הם [[אליפסה|אליפסות]], ולאו דווקא מעגלים.
 
==קישורים חיצוניים==