|
== הכללות ==
משפטנסמן אוילרכמקודם מספקב-R,r,d את התנאיהרדיוסים לכךשל ששנישני מעגלים ואת המרחק בין המרכזים שלהם, שאחדונסמן <math>\ \alpha = \frac{r}{R+d}</math> ו-<math>\ \beta = \frac{r}{R-d}</math>. נאמר ששני המעגלים הם שותפי-n אם אחד מהם בתוךחוסם השניוהשני חסום במצולע בעל n צלעות. לפי משפט אוילר, יהיושני המעגלהמעגלים החוסםהם והמעגלשותפי-3 החסוםאם של איזשהו<math>\alpha+\beta משולש= 1</math>. קיים תנאי דומה לכך ששני מעגלים יהיו שותפי-4 (כלומר, המעגל החוסם והמעגל החסום של איזשהו '''מרובע''', (המוכרח להיות במקרה כזה, בעת ובעונה אחת, [[מרובע משיקים]] ו[[מרובע ציקלי]]): <math>\ \frac{1}{(R+d)alpha^2}+\frac{1}{(R-d)beta^2} = \frac{1}{r^2}</math> (זהו [[משפט פס]], {{אנ| Nicolaus Fuss}}). יש הכללה לנוסחה זו במונחי [[פונקציה אליפטית|הפונקציה אליפטית של יעקובי]] ו[[אינטגרל אליפטי|אינטגרל אליפטי שלם מסוג ראשון]], [http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html]. בסוף המאה ה-18 ותחילת המאה ה-19 התגלו קשרים פולינומיים מפורשים עבור ערכים שונים של מספר הצלעות n. לדוגמא, התנאי לכך ששני המעגלים הם שותפי-5 הוא <math>\ (\alpha+\beta+1)^3 = 4(\alpha^3+\beta^3+1)</math>; והתנאי לכך שיהיו שותפי-6 הוא <math>3+(\beta^2-\alpha^2)^2= 2(\alpha^2+\beta^2)</math>.
כעת נתבונן בשני מעגלים C,D, כך ש-C מוכל בפנים של D. מכל נקודה P על D אפשר להעביר משיק ל-C (נאמר בכיוון מחוגי השעון), הפוגע שוב ב-D בנקודה שנסמן ב-<math>P'</math>. באופן כזה מוגדרות הנקודות <math>\ P'' = (P')'</math>, {{כ}}<math>\ P''' = (P'')'</math>, וכן הלאה, ומסמנים באינדוקציה <math>\ P^{(n)} = {P^{(n-1)}}'</math>. אם <math>P'''=P</math>, פירושו של דבר הוא ש-<math>P,P',P''</math> הם הקודקודים של משולש החוסם את C וחסום ב-D. אם <math>P''''=P</math>, אז <math>P,P',P'',P'''</math> הם הקודקודים של מרובע החוסם את C וחסום ב-D, וכן הלאה. [[משפט פונסלה]] (על שמו של [[ז'אן-ויקטור פונסלה]], {{אנ|Jean-Victor Poncelet}}) קובע שאם <math>\ P^{(n)} = P</math> לנקודה P כלשהי כל D, אז תכונה זו נכונה לכל נקודה P על D; כלומר, העובדה שהעברת משיק n פעמים חוזרת לנקודת ההתחלה היא תכונה של המעגלים C,D, ולא של הנקודה P. המשפט מתקיים אפילו אם C,D הם [[אליפסה|אליפסות]], ולאו דווקא מעגלים.
|
