|
בתרבות המערבית, היה זה ה[[אסטרונום]] [[היפרכוס]] שגילה בשנת 130 לפנה"ס, את נדידתו של ציר כדור הארץ ונקודות השוויון. כיום משערים כי תרבויות עתיקות יותר (כגון [[מצרים העתיקה]] ו[[בבל]]) הקדימו אותו.
== תלות אורך היום ביום בשנה ובקו הרוחב ==
[[קובץ:עונות השנה.png|מסגרת|שמאל|הזווית <math>\beta</math> היא הזווית בין הכיוון ממנו מגיעות קרני השמש לקו ייחוס מסוים המונח במישור המילקה.]]
בהינתן מיקום היום בשנה d, שהינו מספר בין 1 ל-365, וקו הרוחב <math>\lambda</math>, ניתן למצוא את אורך היום משיקולים גאומטריים. התהליך מורכב משני שלבים:
'''שלב 1: הגדרת הזווית <math>\beta</math> של הכיוון ממנו מגיעות קרני השמש'''.
הזווית שיוצר הקו המחבר את מרכז כדור הארץ ומרכז השמש ביחס לקו שבתחילת השנה היא <math>\beta = (d/365)*2\pi</math>. מיקום היום d מוגדר כך שיהיה שווה לאפס ב[[נקודת ההיפוך]] הקייצית.
'''שלב 2: מציאת אורך היום.'''
בהינתן קו רוחב <math>\lambda</math> והזווית <math>\theta_0</math> של נטיית ציר סיבוב כדור הארץ יש למצוא מה חלק המעגל שמגדיר את קו הרוחב המסוים הזה הנמצא בחצי הכדור החשוך (החצי הלא מואר של כדור הארץ). נגדיר את חלק המעגל הזה לפי הזווית המרכזית <math>\alpha</math> המתאימה לקשת המעגל שנמצאת בחלק החשוך.
'''טענה:''' הזווית הזאת מקיימת מגאומטריה: <math>cos(\alpha/2) = tan (\lambda) tan (\theta_0) cos (\beta)</math>.
'''הוכחה''':
[[קובץ:המחשה_לחישוב_אורך_היום.pdf|שמאל|400px|ממוזער|באיור מוראה החתך המעגלי המתאים לקו הרוחב <math>\lambda</math>, בעוד המעגל הקטן שמוכל בו הוא חיתוך החרוט המתאים לקו הרוחב <math>\pi/2 - \theta_0</math> עם המישור היוצר את חתך קו הרוחב <math>\lambda</math>. הקו הישר האלכסוני היוצר זווית <math>\beta</math> עם הקו השני הוא הכיוון ממנו מגיעות קרני השמש.]]
יהי X חתך כדור הארץ המתאים לקו הרוחב <math>\pi/2 - \theta_0</math> ויהי Y חתך כדור הארץ המתאים לקו הרוחב <math>\lambda</math>.
נקרא ל[[חרוט]] שקודקודו במרכז הארץ ובסיסו X בשם חרוט A, ולחרוט שקודקודו במרכז כדור הארץ ובסיסו Y נקרא חרוט B. מטעמי סימטריה מספיק להוכיח את הטענה עבור חצי הכדור הצפוני, וכך תנבע גם נכונות הטענה לחצי הכדור הדרומי. לאוסף כל הקשתות המעגליות המפרידות בין חצי הכדור המואר לחצי הכדור החשוך יש שתי נקודות משותפות, ונקרא לעליונה שבהם <math>P'</math> ולתחתונה <math>Q'</math>. בנקודת ההיפוך ציר כדור הארץ, הקו המחבר בין <math>P'</math> ו-<math>Q'</math>, והכיוון ממנו מגיעות קרני השמש, נחים כולם על אותו מישור ולכן ניתן להיעזר בגאומטריה מישורית כדי למצוא את אורך היום בתלות בקו הרוחב. לשם כך ניעזר ב[[הטלה (מתמטיקה)|הטלות]] גרפיות. רדיוס החתך X הוא <math>r_X = cos (\pi/2 - \theta_0) = sin(\theta_0)</math> ורדיוס החתך Y הוא <math>r_Y = cos(\lambda)</math> (כיוון שהתוצאה אינה תלויה ברדיוס כדור הארץ הנחנו שהוא 1). נקרא לנקודת החיתוך של <math>P'Q'</math> עם Y בשם <math>P</math> ולמרכז המעגל Y בשם O. אזי מתקיים מדמיון משולשים שרדיוס חיתוך החרוט A עם Y הוא: <math>OP = r_X*sin(\lambda)/cos(\theta_0)</math>. היטל הקשת המעגלית המתאימה לגבול חצי הכדור המואר בנקודת ההיפוך על Y הוא קו ישר המאונך ל-<math>OP</math>, כמוראה באיור. לפיכך נקבל אחרי פישוט אלגברי: <math>cos (\alpha/2) = OP/R = tan (\lambda) tan (\theta_0) </math>. ובכך הוכחה נכונות הטענה לנקודות ההיפוך.
'''הכללת הטענה ליום כלשהו בשנה''':
כדי להכליל את הטענה ליום שרירותי בשנה יש להיעזר בתכונות ההעתקות ה[[העתקה קונפורמית|קונפורמיות]]. הזווית שיוצרת קשת גבול עם קשת הגבול הראשונית (זו שביום ההיפוך) בנקודה <math>P'</math> היא <math>\beta</math>. הזווית הזאת מועברת ללא שינוי למישור Y לאחר ההטלה הקונפורמית למישור זה ולפיכך היטל קשת הגבול הוא קו ישר היוצר זווית <math>\pi/2 - \beta</math> עם OP. לפיכך מתקיים כעת:
<math>cos (\alpha/2) = (OP/R)*cos\beta = tan (\lambda) tan (\theta_0) cos (\beta)</math>.
'''מ.ש.ל'''
'''חישוב אורך היום''':
מהתוצאה האחרונה נקבל שמשך היום T הוא:
<math>T = (2\pi - \alpha)/(2\pi)*24 = (2\pi - 2arccos (tan (\lambda) tan (\theta_0) cos (\beta)))/(2\pi)*24</math>
כאשר <math>\beta = (d/365)*2\pi</math> (התוצאה של שלב 1).
=== מסקנות מן הנוסחה ===
* מן הנוסחה עולה שבקו המשווה יש במהלך כל השנה אותו מספר שעות יום - 12 שעות יום.
* מן הנוסחה עולה שב[[חוג הקוטב]] (קווי רוחב 66.5 צפון ו-66.5 דרום) מתקבלת תנודת [[גל שן מסור|שן מסור]] של משך היום במהלך השנה. בנקודות המקסימום של התנודה מתקיים שאורך היום הוא בדיוק 24 שעות, כלומר ביום הארוך בשנה השמש לא שוקעת - תופעה המכונה [[שמש חצות]]. עבור קווי רוחב קיצוניים יותר מקווי רוחב אלו, יום מלא מתקבל יותר מפעם אחת בשנה.
'''דוגמה''':
לשם דוגמה נחשב את אורך היום הארוך ביותר בשנה בתל אביב. קו הרוחב של תל אביב הוא 32 מעלות, ונטיית ציר כדור הארץ היא 23.5 מעלות. לפיכך הזווית המתאימה <math>\alpha</math> ביום הארוך ביותר היא:
<math>\alpha = 2arccos (tan (\lambda) tan (\theta_0)) = 2arccos (tan 32 * tan 23.5) = 148.46 </math> מעלות, על כן אורך היום הוא:
<math>T = (360 - 148.46)/360 *24 = 14.1</math> שעות, וזהו בדיוק אורך היום הארוך ביותר המתועד בתל אביב.
==ראו גם==
| 