פולינום – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 1:
{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''פולינום''' (תרגוםבמשתנה מילולי:<math>\ '''רב-איבר''')x</math> הוא [[סכום|'''סכום''']]ביטוי '''שלמהצורה [[מונום|מונומים]]''',<math>\ כאשרa_0 כל+ מונוםa_1 הואx [[ביטוי+ (מתמטיקה)|ביטוי]]\cdots + מהצורהa_n <math>axx^n</math>, כאשר <math>x\ a_0,a_1,\dots,a_n</math> הואהם קבועים; [[משתנה]]למשל, ו-n היא ה[[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]]<nowiki/math>שלו,\ ו3x^2+7x-<math>a5</math>. הואבאותו [[מקדםאופן (מתמטיקה)|מקדם]]אפשר מספרילהגדיר (שאינו מוצג אם הוא שווה ל-1).כמובן '''פולינום במספרבכל משתנים'''משתנה הוא [[סכום]] של מונומים שכל אחד מהם הוא מהצורהאחר (<math>ax_1^{n_1}\cdots x_ky^{n_k}9-y</math>, כאשרהוא פולינום במשתנה <math>x_1,\cdots ,x_ky</math>), הםוגם פולינומים בכמה משתנים, כמו <math>\ n_1,\dots,n_k</math> הם חזקות, וx^3yz+xy^3z-<math>a2xy</math> הוא המקדם של המונום.
 
כאשרפולינום ה'''מקדמים'''שבו <math>\ a_i</math>המקדמים הם [[מספר]]ים, וה[[חזקה (מתמטיקה)|חזקות]] הן [[מספר טבעיממשי|מספרים טבעייםממשיים]] (לרבות אפס).נקרא '''פולינום ממשי' הוא פולינום שבו המקדמים הם [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]]''. באופן כללי יותר, המקדמים עשויים להיות איברים ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] (או [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]]) כלשהו F, ואז מדובר ב"פולינום מעל F".
'''דוגמאות''':
* <math>\ 3x^2+7x-5</math> הוא פולינום במשתנה <math>x</math>.
*<math>\ y^9-y</math> הוא פולינום במשתנה <math>y</math>
* <math>\ x^3yz+xy^3z-2xy</math>. הוא פולינום במשתנים <math>x</math>,<math>y</math>,<math>z</math>
 
החזקההמחוברים <math>\ na_kx^k</math> הגבוההנקראים ביותר[[מונום|מונומים]]. שעבורהבמונום המקדםכזה, k היא ה'''חזקה''' או ה'''מעריך''', והקבוע <math>\ a_na_k</math> שונההוא מאפס,ה'''מקדם'''. החזקה הגבוהה ביותר המופיעה בפולינום p היא ה'''[[מעלה של פולינום|מעלה]]''' של הפולינום, ומסומנתומסמנים אותה ב-<math>\deg p(x)</math>. המקדםהמחובר <math>\ a_0</math> נקרא '''המקדם החופשי''' ו- <math>\ a_n</math> נקרא '''המקדם המוביל''' של הפולינום. אם המקדם המוביל שווה ל- 1, אז הפולינום נקרא '''פולינום מתוקן'''. לדוגמה, <math>\ 3x^2 + 5x + 12 </math> הוא פולינום ממעלה שנייה, שהמקדם המוביל שלו הוא 3.
פולינום במשתנה אחד, <math>\ x</math>, אפשר לכתוב כצירוף
<math> \ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math>
כאשר ה'''מקדמים''' <math>\ a_i</math> הם [[מספר]]ים, וה[[חזקה (מתמטיקה)|חזקות]] הן [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] (לרבות אפס). 'פולינום ממשי' הוא פולינום שבו המקדמים הם [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]]. באופן כללי יותר, המקדמים עשויים להיות איברים ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] (או [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]]) כלשהו F, ואז מדובר ב"פולינום מעל F".
 
אם מקדמי הפולינום <math>\ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math> שייכים לשדה <math>\ F</math>, אז הוא מגדיר '''[[פונקציה]] פולינומית''' <math>\ f:F\rightarrow F</math> באמצעות '''הצבה''': <math>\ p(b)=a_nb^n+a_{n-1}b^{n-1}+...+a_1b+a_0</math>. למשל, אם <math>\ p(x) = x^2+4</math> אז <math>\ p(3) = 3^2+4 = 13</math>.
החזקה <math>\ n</math> הגבוהה ביותר שעבורה המקדם <math>\ a_n</math> שונה מאפס, היא ה'''מעלה''' של הפולינום, ומסומנת <math>\deg p(x)</math>. המקדם <math>\ a_0</math> נקרא '''המקדם החופשי''' ו- <math>\ a_n</math> נקרא '''המקדם המוביל''' של הפולינום. אם המקדם המוביל שווה ל- 1, אז הפולינום נקרא '''פולינום מתוקן'''. לדוגמה, <math>\ 3x^2 + 5x + 12 </math> הוא פולינום ממעלה שנייה, שהמקדם המוביל שלו הוא 3.
 
אם מקדמי הפולינום <math>\ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math> שייכים לשדה <math>\ F</math>, אז הוא מגדיר '''[[פונקציה]] פולינומית''' <math>\ f:F\rightarrow F</math> באמצעות '''הצבה''': <math>\ p(b)=a_nb^n+a_{n-1}b^{n-1}+...+a_1b+a_0</math>.
 
פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p_1(x)} {p_2(x)}</math>, כאשר <math>\ p_1(x), p_2(x)</math> הם פולינומים, נקראת '''[[פונקציה רציונלית]]'''.