הבדלים בין גרסאות בדף "חוק סטוקס"

הוסרו 8 בתים ,  לפני 5 שנים
במאמר מדעי חלוצי וחשוב ביותר משנת 1851, סטוקס גזר את הביטוי לגרר הפועל על כדור הנע דרך זורם צמיג בגבול של מספרי ריינולדס נמוכים. תוצאה זו היא אחת התוצאות הקלאסיות והחשובות בהידרודינמיקה עם מספרי ריינולדס נמוכים, והיא אחת התוצאות המהותיות הראשונות בתחום שנגזרו אי פעם. בפיתוח החוק סטוקס עשה שימוש נרחב בכלים של ה[[אנליזה וקטורית|אנליזה הווקטורית]], ענף מתמטי שסטוקס היה ממייסדיו. להלן מובא הפיתוח של סטוקס.
 
בגלל הסימטריה הגלילית של הבעיה יחסית לציר שכיוונו ככיווןלכיוון מהירות התנועה של הכדור, נוח יותר להציג את הבעיה במערכת [[קואורדינטות כדוריות]] שראשיתה במרכז הכדור. במערכת צירים כזאת למהירות הזרימה הצמיגה והאי-דחיסה מסביב לכדור לא תהיהיהיה רכיב מהירות אזימוטלי אלא רק רכיב מהירות רדיאלי ורכיב מהירות משיקי. העובדה שה[[דיברגנץ]] של שדה הזרימה מסביב לכדור הוא אפס מאפשרת להציג את פונקציית הזרימה ([[פונקציית הזרימה של סטוקס]]) הבאה:
 
<math>
</math>.
 
כדי לתאר את פילוג הלחץ במרחב מסביב לכדור נשתמש בהנחות שהזרימה היא תמידית (כלומר הנגזרתשהנגזרת הזמנית של וקטור המהירות בנקודה כלשהי היא אפס) ושהזרימה היא [[זורם ניוטוני|ניוטונית]] , ולכן [[גרדיאנט]] הלחץ שווה למכפלת מקדם הצמיגות ב[[לפלסיאן]] של שדה המהירות:
 
<math>\nabla P = \mu \nabla^2 u</math>.
<math>r^4\frac{\partial^4 f(r)}{\partial r^4} - 4r^2\frac{\partial^2 f(r)}{\partial r^2} + 8r\frac{\partial f(r)}{\partial r} - 8f(r) = 0</math>.
 
ננחש פתרון מהצורה <math>f(r) = r^k</math> ונקבל לאחר צמצום <math> r^k </math> את הפולינום <math>k^4 - 6k^3 + 7k^2 + 6k - 8 = 0</math>, אשר לו פתרונות <math>k = -1,+1,+2,+4</math>. לפיכך הפתרון למשוואה הדיפרנציאלית הוא סכום של חזקות אלה של r, כלומר הוא מהצורה:
 
<math>f(r) = \frac {A}{r} + Br + Cr^2 + Dr^4 </math>.
<math>D_t = 2\pi a^2 \int_{-1}^{1} t sin\theta d(\cos\theta) = 3\pi a \mu U_0 \int_{-1}^{1} (1 - cos^2\theta) d(\cos\theta) = 4\pi a \mu U_0</math>.
 
סך כוחות הגרר הפועלים על הכדור שווה לסכום גרר הלחץ וגרר הצמיגות, שנותן: <math>D = 6\pi a \mu U_0</math>. זוהי התוצאה המפורסמת של סטוקס. שים לב, ש-<math>2/3</math> מהגרר מקורו במאמצי הגזירה וה-<math>1/3</math> האחר מקורו בגרר לחץ.
 
==תנועה בהשפעת גרביטציה==