הוכחה – הבדלי גרסאות

ב[[מתמטיקה]] וב[[לוגיקה]] '''הוכחה''' היא סדרה סופית של [[טענה|טענות]] הנובעות זו מזו בעזרת כללי היסק, תוך שימוש ב[[הגדרה|הגדרות]], ב[[אקסיומה|אקסיומות]], ובידע קודם שהוכח קודם לכן, המראה שטענה מסוימת היא נכונה.{{ש}}

מצד שני, ניתן לשאול האם קיים אוסף אקסיומות שהוא מצד אחד עקבי ומצד שני מספיק רחב כדי שיהיה אפשר להוכיח מתוכו או להפריך מתוכו כל טענה? [[משפטי האי שלמות של גדל|משפט אי השלמות הראשון של גדל]] נותן תשובה שלילית לשאלה הזו עבור מקרים מעניינים רבים. מערכות אקסיומות שניתן לנסח בהן חלק מספיק משמעותי מהאריתמטיקה, לא יכולות להיות מצד אחד גדולות מספיק כדי שיהיה ניתן להוכיח או להפריך מתוכן כל טענה ומצד שני פשוטות לתיאור. באופן פורמלי: ב[[תורה]] [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]] - שהאקסיומות שלה ניתנות לזיהוי מכני [="[[תורה אפקטיבית|אפקטיבי]]"] - ושניתן לפתח בה את ה[[אריתמטיקה]] (של החיבור ושל הכפל), תמיד תהיינה השערות אשר מחד גיסא ניתנות לניסוח (בשפתה של התורה), ואשר מאידך גיסא אינן ניתנות להוכחה ואף לא להפרכה (במסגרת אותה תורה).{{ש}}

* [http://www.ted.com/talks/eduardo_saenz_de_cabezon_math_is_forever Math is forever] - סרטון על ההבדל בין השערה להוכחה, באתר [[TED]]