|
==האי-שוויון==
המקרה הכללי ביותר של האי-שוויון הוא במרחבי מידה: יהי <math>(X, \sigma, \mu)</math> [[מרחב מידה]]. עבור קבוע <math>r \in \mathbb{R}</math>, לכל <math>f:X \to \mathbb{C}</math> נהוג לסמן:
יהי <math>(X, \sigma, \mu)</math> [[מרחב מידה]]. עבור כל <math>r \in \mathbb{R}</math> נהוג לסמן:
<center><math> \| f \|_r \equiv \left( \int_{X} \left| f \right|^r d\mu \right)^{1/r} </math></center>
לכל <math>f:X \to \mathbb{C}</math>. יש לשים לב שסימוןשביטוי זה אינומגדיר אומר שמדובר בהכרח ב[[נורמה (אנליזה)|נורמה]], אלא רק אם <math>f \in L^r(\mu)</math> בעלת(כלומר אינטגרל<math>\int f^r סופי< \infty</math>).
האי-שוויון קובע שלכל <math>p,q \in [1, \infty]</math> המקיימים <math>1/p + 1/q = 1</math>, לכל זוג [[פונקציה מדידה|פונקציות מדידות <math>f,g:X \to \mathbb{C}</math>]], מתקיים כי:
<center><math>\| fg \|_1 \leq \| f \|_p \| g \|_q</math></center>
אם מתקיים בנוסף כי <math>p,q \in (1, \infty)</math> וכן גם <math>f \in L^p(\mu)</math>, <math>g \in L^q(\mu)</math>, אז אי השוויון הוא שוויון אם ורק אם <math>\left| f \right|^p, \left| g \right|^q</math> תלויות לינארית במרחב <math>L^1(\mu)</math>, כלומר קיים <math>c \geq 0</math> כך שמתקיים <math>\left| f \right|^p = c \cdot \left| g \right|^q</math> [[כמעט תמיד]] ביחס ל-<math>\mu</math>.
===מקרים פרטיים חשובים===
| 