בסיס (אלגברה) – הבדלי גרסאות

הוסרו 3 בתים ,  לפני 6 שנים
clean up, replaced: [[קטגוריה: ← [[קטגוריה: באמצעות AWB
(clean up, replaced: [[קטגוריה: ← [[קטגוריה: באמצעות AWB)
ב[[אלגברה לינארית]] קבוצה של וקטורים ב[[מרחב וקטורי]] נקראת '''בסיס''' אם היא מקיימת כמה הגדרות שקולות. הגדרה אחת לבסיס היא [[קבוצה פורשת]] [[תלות לינארית|בלתי תלויה לינארית]]. הגדרה שקולה לקבוצה שהיא בסיס, היא אם אפשר להציג כל איבר של המרחב כ[[צירוף לינארי]] של הקבוצה, באופן יחיד. אפשר להגדיר בסיס גם כ[[קבוצה פורשת]] מינימלית, כלומר כזו שאם מסירים ממנה ולו וקטור אחד, היא כבר אינה פורשת; או, באופן שקול, כקבוצה [[תלות לינארית|בלתי תלויה]] מקסימלית, כלומר כזו שאם יוסיפו לה ולו וקטור אחד היא תפסיק להיות בלתי תלויה.
 
לכל מרחב וקטורי יש בסיס, ומספר הווקטורים שבבסיס מוגדר באופן חד-משמעי, והוא נקרא '''[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]]'''. לבסיסים חשיבות עקרונית באלגברה לינארית, בכך שבסיס קובע לכל וקטור את [[וקטור קואורדינטות|וקטור הקואורדינטות]] המתאים לו. לפיכך, בחירה של בסיס מאפשרת 'לממש' עצמים מופשטים המתייחסים למרחב (כגון [[העתקה לינארית]]) על ידי מבנים קונקרטיים (כגון [[מטריצה]]).
 
בסיס יכול להיות סופי, או אין-סופי. אם במרחב יש קבוצה פורשת סופית, אז הוא בעל בסיס סופי (ולכן גם ממד סופי). ההוכחה לכך שלכל מרחב וקטורי יש בסיס מסתמכת על [[הלמה של צורן]], וממילא תוצאה זו דורשת את [[אקסיומת הבחירה]].
 
נהוג לכנות בסיס אלגברי גם בשם '''בסיס המל''', בעיקר בהקשר של מרחב מממד אינסופי (ולעתים אף לא [[קבוצה בת מנייה|בר מנייה]]). בסיס שהווקטורים בו מופיעים בסדר מסוים נקרא '''בסיס סדור'''. פעמים רבות כשמתייחסים לבסיס מניחים שהוא אכן סדור בסדר שרירותי כלשהו.
כאשר n סופי אומרים של-V יש '''ממד''' n, ולפי המשפט n יחיד.
 
תכונה חשובה נוספת: כל קבוצה בלתי תלויה אפשר להשלים לבסיס, ובאופן דומה, מכל קבוצה פורשת סופית אפשר 'לזרוק' וקטורים עד שתהפוך להיות בסיס.
 
לבסיס יש חשיבות גם במציאת הפתרונות של [[מערכת משוואות לינאריות]]. העמודות והשורות של [[מטריצה ריבועית]] מסדר <math>\ n\times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> מהוות בסיס למרחב <math>\ \mathbb{F}^n</math> אם ורק אם ה[[דטרמיננטה]] שלה שונה מאפס. תכונה זו נובעת מכך שלפי [[נוסחת קרמר]], באמצעות הדטרמיננטה ניתן לקבוע את ממד מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות שהמטריצה מייצגת, ולפי [[משפט קרונקר-קפלי]] ממד מרחב הפתרונות תלוי ישירות ב[[דרגה (אלגברה לינארית)|דרגת]] מרחב העמודות. לכן עבור מרחב וקטורי מממד סופי, השימוש בדטרמיננטה היא דרך חישובית ישירה לקביעה האם קבוצה של וקטורים היא בסיס.
 
{{אלגברה לינארית}}
 
[[קטגוריה: אלגברה]]
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]