התפלגות ארלנג – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אם מישהו הגיע לערך הזה, הוא יודע מה זה סימון מתמטי!
מאין תקציר עריכה
שורה 27:
לפיכך כאשר פרמטר הצורה <math>k</math> הוא 1, מתקבל [[מקרה_פרטי#שימושים_במתמטיקה|מקרה פרטי]] בו ההתפלגות היא למעשה [[התפלגות מעריכית]]. מצד שני [[התפלגות גמא]] מהווה [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של התפלגות ארלנג בה ניתן לשבץ ערכים ממשים בפרמטר '''מספר השלבים''' <math>k</math>.
 
התפלגות ארלנג נקראת על שמו של '''[[אגנר קרארוף ארלנג]]''' שפיתח אותה במסגרת עבודתו על גרסה מוקדמת של תורת התורים. ארלנג התמודד עם הצורך המעשי להעריך את כמות שיחות טלפון שעשויה להתקבל בו זמנית על ידי מפעילי תחנות מיתוג במערך תקשורת. מאוחר יותר כאשר הורחבה עבודתו של ארלנג בתחום הנדסת תעבורה טלפונית, הוכללה ההתפלגות כך שיתאפשר גם חישוב של זמני המתנה [[תורת התורים|במערכות תורים]]. כיום משמשת ההתפלגות ארלנג גם בתחומים כגון [[תהליך סטוכסטי|תהליכים סטוכסטיים]], [[אקטואריה]]  [[מתמטיקה ביולוגית|וביומתמטיקה]].
 
==פונקציית צפיפות הסתברות==
שורה 41:
<div align="center"><math>f(x; k,\mu)=\frac{ x^{k-1} e^{-\frac{x}{\mu}} }{\mu^k (k-1)!}\quad\mbox{ : }x, \mu \geq 0</math></div>
 
בצורה זו משתמשים ב-<math>\mu</math> פרמטר גודל, כאשר (<math>\mu = 1/\lambda</math>). בצורה זו ניתן לראות בנקל כי כאשר <math>\mu</math> שווה ל 2, ההתפלגות זהה ל[[התפלגות כי בריבוע|להתפלגות כי בריבוע]] בעלת <math>2k</math> [[דרגות חופש]]. ולכן התפלגות ארלנג היא הכללה להתפלגות כי בריבוע עבור דרגת חופש זוגית, ואכן לעיטים נקראת התפלגות זו '''התפלגות ארלנג-k'''.
 
==פונקציית ההסתברות המצטברת==
שורה 48:
 
<div align="center"><math>F(x; k,\lambda) = \frac{\gamma(k, \lambda x)}{(k-1)!}</math></div>
 
כאשר גמא בנוסחה הנ"ל היא [[פונקציית גמא הלא שלמה]].
 
שורה 59:
 
נוסחת ארלנג מהווה הפתרון [[משוואה דיפרנציאלית|למשוואה הדיפרנציאלית]]:
<div align="center"><math>x f'(x) + ( \lambda x + 1 - k ) f(x) = 0</math></div>
עם [[תנאי שפה]]: <math>f(1)=\frac{e^{-\lambda } \lambda^k}{\Gamma (k)}</math> ([[התפלגות פואסון]])
 
===ערך שכיח===
 
קיים פיתוח אסימפטוטי לפי נוסחה של [[סריניוואסה רמנוג'אן|רמנוג'אן]] עבור ''הערך השכיח'' של התפלגות ארלנג{{הערה|{{Cite journal | last1 = Choi | first1 = K. P. | doi = 10.1090/S0002-9939-1994-1195477-8 | title = On the medians of gamma distributions and an equation of Ramanujan | journal = Proceedings of the American Mathematical Society | volume = 121 | pages = 245–251 | year = 1994 | jstor = 2160389| pmid = | pmc = }}}} עבור הפיתוח הזה ניתן לחשב את הקבועים וההגבלות הידועים.{{הערה|{{Cite journal | last1 = Adell | first1 = J. A. | last2 = Jodrá | first2 = P. | doi = 10.1090/S0002-9947-07-04411-X | title = On a Ramanujan equation connected with the median of the gamma distribution | journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 360 | issue = 7 | pages = 3631 | year = 2007 | pmid = | pmc = }}}}
{{הערה|{{Cite journal | last1 = Jodrá | first1 = P. | title = Computing the Asymptotic Expansion of the Median of the Erlang Distribution | doi = 10.3846/13926292.2012.664571 | journal = Mathematical Modelling and Analysis | volume = 17 | issue = 2 | pages = 281–292 | year = 2012 | pmid = | pmc = }}}}
הקרוב הוא:
 
<math>\dfrac{k}{\lambda}\left(1-\dfrac{1}{3k+0.2}\right)</math>
 
והערך השכיח לפי הקרוב הוא פחות מהתוחלת, שערכה הוא: <math>\tfrac{k}{\lambda}</math>.{{הערה|שם=Banneheka2009|Banneheka BMSG, Ekanayake GEMUPD (2009) "A new point estimator for the median of gamma distribution". ''Viyodaya J Science'', 14:95-103}}
 
==סימולציית מספרים אקראיים ==
ניתן להפיק מספרים אקראיים בהתפלגות-ארלנג ממספרים אקראיים התפלגות אחידה (<math>U \in (0,1]</math>) באמצעות הנוסחה הבאה:{{הערה|http://www.xycoon.com/erlang_random.htm}}
<div align="center"><math>E(k,\lambda) \approx -\frac{1}\lambda \ln \prod_{i=1}^k U_{i}</math></div>
 
== שימושים ==
 
===זמני המתנה===
 
מודל [[תהליך פואסון]] מאפשר ייצוג של סדרת אירועים בלתי תלויים, בעלי קצב עם תוחלת סופית. במצב זה ניתן להעריך את זמן ההמתנה לסיומם של k אירועים כאלו על ידי התפלגות ארלנג. השאלה המקבילה: "מהו מספר האירועים הצפוי בפרק זמן נתון?" מתואר על ידי [[התפלגות פואסון]].)
 
ניתן להשתמש בהתפלגות ארלנג להערכת זמן בין שיחות נכנסות, בשילוב עם אורכם הצפוי של שיחות נכנסות על מנת לייצר מידע על עומס התנועה נמדד ביחידות על שם ארלנג. ניתן להעריך לפי שיטה זו את ההסתברות [[חבילת מידע|לנפילת חבילות מידע]] ב[[רשת מחשבים]] ועיכוב, על פי הנחות שונות לגבי אופן טיפול בשיחות שנחסמות. כאשר שיחות שנחסמות מבוטלות ניתן להשתמש בנוסחת ארלנג ב', וכאשר שיחות חסומות נאגרת בתור עד שהם נענות ניתן לחשב לפי נוסחת ארלנג ג'. נוסחות ארלנג-ב ו-ג עדיין משמשות מהנדסים ברמה יומיומית כמודלים של תעבורה. ישומים לנוסחאות אלו הם בתכנון מוקדים שרות טלפוניים ומערכות הזמנה לשירותים מכוונים ומערכות מעכב פרסום טלפוני.
שורה 89 ⟵ 88:
 
*כאשר <math>\scriptstyle X \;\sim\; \mathrm{Erlang}(k,\, \lambda)\,</math> אז <math>\scriptstyle a \cdot X \;\sim\; \mathrm{Erlang}\left(k,\, \frac{\lambda}{a}\right)\,</math> עם <math>\scriptstyle a \in \mathbb{R}</math>
* <math>\scriptstyle \lim_{k \to \infty}\frac{1}{\sigma_k}\left(\mathrm{Erlang}(k,\, \lambda) \,-\, \mu_k\right) \;\xrightarrow{d}\; N(0,\, 1) \,</math> ([[התפלגות נורמלית]])
*סכומם של שתי משתני ארלנג <math>\scriptstyle X \;\sim\; \mathrm{Erlang}(k_1,\, \lambda)\,</math> ו<math>\scriptstyle Y \;\sim\; \mathrm{Erlang}(k_2,\, \lambda)\,</math> הוא משתנה ארלנג עם פרמטרים <math>\scriptstyle X \,+\, Y \;\sim\; \mathrm{Erlang}(k_1 \,+\, k_2,\, \lambda)\,</math>
*סכומם של מספר <math>\scriptstyle X_i \;</math> [[התפלגות מעריכית|משתנים מעריכים]] בעלי פרמטר (λ) הוא משתנה ארלנג עם פרמטרים <math>\scriptstyle \sum_{i=1}^k{X_i} \;\sim\; \mathrm{Erlang}(k,\, \lambda)\,</math>
שורה 97 ⟵ 96:
 
==הערות==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}
 
==ראו גם==
* [[התפלגות פואסון]]
שורה 105:
 
== קישורים חיצוניים ==
 
 
{{התפלגות}}