הבדלים בין גרסאות בדף "שדה (מבנה אלגברי)"

(←‏הגדרה: בחיבור צריך נגדי ולא הופכי)
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
== היסטוריה ==
 
שדה הוא מבנה אלגברי שבו אפשר לבצע את [[ארבע פעולות החשבון]] המוכרות. את ההגדרה הכללית של המושג הציע [[היינריך מרטין ובר]] ב-[[1893]], בעקבות [[ריכרד דדקינד]] שב-[[1877]] קרא "שדה" לקבוצה של מספרים (מרוכבים) ה[[סגירות (אלגברה)|סגורה]] לארבע הפעולות. ברעיון הבסיסי של [[הרחבת שדות]] (נוצרת סופית) השתמש [[אווריסט גלואה|גלואה]] כבר ב-[[1831]].
 
== הגדרה ==
שדה הוא [[מבנה אלגברי]] יחודי הכולל [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>\ F</math> עם שתי [[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]], להן אפשר לקרוא "חיבור" ו"כפל" (המסומנות בדרך כלל ב- <math>+</math> ו- <math>\cdot</math>) ושני קבועים (שונים) - 0 ו- 1, המקיימות את התכונות הבאות:
* המבנה <math>\ (F, + , 0)</math> הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: החיבור [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], 0 הוא איבר נייטרלי, ולכל איבר יש נגדי;
* המבנה <math>\ (F\setminus \{0\}, \cdot , 1)</math> הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: הכפל [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], 1 הוא [[איבר יחידה]], ולכל איבר שונה מאפס יש [[איבר הופכי|הפכי]];
השדות המופיעים באנליזה מאופיינים בתכונות נוספות, כגון [[שדה סדור|סדר]] ו[[שדה סדור שלם|שלמות]]. הדוגמאות היסודיות בתחום זה הן [[שדה המספרים הממשיים]] ו[[שדה המספרים המרוכבים]].
 
ישנם כמה שדות שזכואשר זכו לסימון מיוחד:
*<math>\mathbb {Q}</math> - [[שדה המספרים הרציונליים]].
*<math>\mathbb {R}</math> - [[שדה המספרים הממשיים]].
*<math>\mathbb{Q}_p</math> - [[שדה המספרים ה-p-אדיים]] המתאים ל[[מספר ראשוני|מספר הראשוני]] p.
 
== תתתות-שדות ==
 
תת-קבוצה של שדה F נקראת '''תתתות שדה''' אם היא שדה בזכות עצמה, כאשר מצמצמים אליה את פעולות החיבור והכפל. במלים אחרות, קבוצה כזו צריכה להכיל את אברי האפס והיחידה של F, ולהיות סגורה לחיבור, לכפל וגם לפעולות של לקיחת הנגדי או ההפכי.
 
אם P הוא תת-שדה של F, אז F הוא [[מרחב וקטורי]] מעל P, ולכן יש לו ממד. כאשר הממד הזה סופי, F מוכרח להיות אלגברי מעל P. במקרה זה, כדי שתת-קבוצה F המכילה את P וסגורה לחיבור וחיסור תהיה תת-שדה, מספיק שהיא סגורה לכפל.
 
לכל שדה יש '''תתתות-שדה ראשוני''', שהוא השדה הקטן ביותר המכיל את איבר היחידה. השדה הזה יכול להיות [[שדה סופי]] בעל גודל [[מספר ראשוני|ראשוני]], או להכיל את כל [[חוג המספרים השלמים|המספרים השלמים]], שאז הוא בהכרח מכיל את [[שדה המספרים הרציונליים|הרציונליים]]. במקרה הראשון ה'''[[מאפיין של שדה|מאפיין]]''' של השדה הוא גודל השדה הראשוני, ובשני אומרים שהמאפיין הוא אפס.
 
== ראו גם ==
משתמש אלמוני