הבדלים בין גרסאות בדף "שדה (מבנה אלגברי)"
←תת-שדות
(←הגדרה: בחיבור צריך נגדי ולא הופכי) תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
|||
|
== היסטוריה ==
שדה הוא מבנה אלגברי שבו אפשר לבצע את [[ארבע פעולות החשבון]] המוכרות. את ההגדרה הכללית של המושג הציע [[היינריך מרטין ובר]] ב-[[1893]], בעקבות [[ריכרד דדקינד]] שב-[[1877]] קרא "שדה" לקבוצה של מספרים
== הגדרה ==
שדה הוא [[מבנה אלגברי]] יחודי הכולל [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>\ F</math> עם שתי [[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]], להן אפשר לקרוא "חיבור" ו"כפל" (המסומנות בדרך כלל ב- <math>+</math> ו- <math>\cdot</math>) ושני קבועים (שונים) - 0 ו- 1, המקיימות את התכונות הבאות:
* המבנה <math>\ (F, + , 0)</math> הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: החיבור [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], 0 הוא איבר נייטרלי, ולכל איבר יש נגדי;
* המבנה <math>\ (F\setminus \{0\}, \cdot , 1)</math> הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: הכפל [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], 1 הוא [[איבר יחידה]], ולכל איבר שונה מאפס יש [[איבר הופכי|הפכי]];
השדות המופיעים באנליזה מאופיינים בתכונות נוספות, כגון [[שדה סדור|סדר]] ו[[שדה סדור שלם|שלמות]]. הדוגמאות היסודיות בתחום זה הן [[שדה המספרים הממשיים]] ו[[שדה המספרים המרוכבים]].
ישנם כמה שדות
*<math>\mathbb {Q}</math> - [[שדה המספרים הרציונליים]].
*<math>\mathbb {R}</math> - [[שדה המספרים הממשיים]].
*<math>\mathbb{Q}_p</math> - [[שדה המספרים ה-p-אדיים]] המתאים ל[[מספר ראשוני|מספר הראשוני]] p.
==
תת-קבוצה של שדה F נקראת '''
אם P הוא תת-שדה של F, אז F הוא [[מרחב וקטורי]] מעל P, ולכן יש לו ממד. כאשר הממד הזה סופי, F מוכרח להיות אלגברי מעל P. במקרה זה, כדי שתת-קבוצה F המכילה את P וסגורה לחיבור וחיסור תהיה תת-שדה, מספיק שהיא סגורה לכפל.
לכל שדה יש '''
== ראו גם ==
| |||