פרקטל – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←פתיח: התבנית מופיעה בערך מזה למעלה מ-6.5 שנים והערך עבר שינויים ושיפורים רבים מאז מוקמה. רצוי לשקול מחדש את הצורך בה. |
מ ויקיזציה |
||
שורה 7:
==דוגמאות לפרקטלים==
פרקטלים נוצרים בתמטיקה על-פי רוב בשיטות המבוססות על [[רקורסיה]], כלומר על חזרה על אותה פעולה מספר רב (בגבול מספר אין-סופי) של פעמים. לדוגמה ניתן ליצור את משולש שרפינסקי באופן הבא: מתחילים מ[[משולש שווה-צלעות]], ומסירים ממנו את המשולש המרכזי, כמו שנראה באיור השני משמאל. עתה נוצרו שלושה משולשים שחורים קטנים. בשלב הבא מכל אחד מהם מסירים את המשולש האמצעי. כל שלב נקרא [[איטרציה]] ולאחר [[אין-סוף]] איטרציות נוצר משולש שרפינסקי.
[[קובץ:Sierpinski triangle evolution.svg|512px|שמאל|יצירת משולש סרפינסקי באופן איטרטבי]]▼
דוגמה נוספת היא בניית [[פתית השלג של קוך]].
▲[[קובץ:Sierpinski triangle evolution.svg|512px|יצירת משולש סרפינסקי באופן איטרטבי]]
[[קובץ:Koch curve (L-system construction).jpg|500px|
▲דוגמה נוספת היא בניית [[פתית השלג של קוך]]. בבנייה מתחילים מקו אחד, ובכל איטרציה מחליפים את החלק האמצעי בקו, בשני קווים היוצרים פינה. ארבע האיטרציות הראשונות מתוארות באיור:
▲[[קובץ:Koch curve (L-system construction).jpg|500px|לא ממוסגר|בניה של קטע מפתית השלג של קוך]]{{ש}}
עוד שיטה רקורסיבית ליצירת פרקטלים היא על ידי העתקה וכיווץ: מתחילים מצורה מסוימת, ואז בכל שלב מעתיקים מספר עותקים מוקטנים של התמונה. את התמונה המתקבלת שוב מעתיקים באופן מוקטן, וכך ממשיכים עד אינסוף. את הפעולה המעשית של ציור פרקטל בדרך זו ניתן לבצע גם בעזרת מכונת צילום או תוכנה לעיבוד תמונה: מזינים תמונה כלשהי לתוך מכונת צילום, והמכונה מדפיסה על אותו דף שלושה עותקים מוקטנים של התמונה המקורית. עתה את התמונה המתקבלת מחזירים כקלט לתוך המכונה, וחוזרים על הפעולה הזאת אין סוף פעמים.
שורה 27 ⟵ 25:
==ממדים שבריים==
בדוגמאות שהובאו קודם לכן ניתן לקבל תחושה מדוע יש בעיה להגדיר מהו הממד של פרקטל.
[[קובץ:Hilbert_curve.gif|שמאל|ממוזער|250px|שמונת הצעדים הראשונים בבנייה של [[עקומת הילברט]].
בשיטת הבנייה של [[פתית השלג של קוך]], ניתן ליצור פרקטלים כגון [[עקומת הילברט]] ו[[עקום פאנו]], שממלאים ריבוע שלם. מכיוון שהבנייה כולה מתבססת על קווים, היינו מצפים שהתוצאה תהיה חד-ממדית, איך ייתכן שמקבלים צורה דו-ממדית?
שורה 36 ⟵ 34:
===ממד האוסדורף===
{{הפניה לערך מורחב|ממד האוסדורף}}
לפי תפיסת הממד הקלאסית, כאשר שרטוט עובר [[קינום]], חלקים בעלי N ממדים בו גדלים ביחס ישר ליחס הקינום ב[[חזקה (מתמטיקה)|חזקת]] N. למשל, כאשר מגדילים קו חד-ממדי פי שלושה, הוא גדל פי שלושה או פי 3 בחזקת גודל הממד - 1. לעומת זאת, ישות דו-ממדית כמו ריבוע כאשר מגדילים את אורכה של הצלע פי שלושה, שטחו של הריבוע, יגדל פי תשעה או פי 3 בחזקת גודל הממד - 2. קו פרקטלי, ככל שנגדיל אותו תגלה העין, שקו שהיה נראה ישר קודם למעשה מפותל. פתית השלג של קוך כאשר מגדילים אותו פי שלושה מגלים שצלע שאמורה לגדול פי שלושה גדלה פי ארבעה, לכן הממד שלו הוא: <math> \frac{\log{4}}{\log{3}}\approx 1.262 </math> .
==דרכים לבניית פרקטלים==
[[קובץ:Julia set (highres 01).jpg|ממוזער|250px|פרקטל [[קבוצת ג'וליה]]]]
;שיטת מכונת הצילום: שיטה זאת נקראת גם "IFS-Iterated Function Systems". המהות של שיטה זאת היא לבצע פעולה על המישור, לדוגמה לקחת את המישור ולהכין ממנו שלושה עותקים מוקטנים ולהדביק אותם יחד, ואחר כך לחזור על הפעולה פעמים רבות. הפרקטל שמתקבל הוא [[נקודת שבת|נקודת השבת]] של הפונקציה.▼
;שיטות החלפה: בשיטות אלו, כמו ב"[[פתית השלג של קוך]]" לדוגמה, מתחילים מצורה גאומטרית פשוטה ובכל שלב מסבכים אותה מעט. כאשר חוזרים על הפעולה אין-סוף פעמים מתקבל הפרקטל. דוגמה נוספת היא "[[עץ פיתגורס]]". שיטת ההחלפה יכולה ליצור גם פרקטלים אקראיים.
▲שיטה זאת נקראת גם "IFS-Iterated Function Systems". המהות של שיטה זאת היא לבצע פעולה על המישור, לדוגמה לקחת את המישור ולהכין ממנו שלושה עותקים מוקטנים ולהדביק אותם יחד, ואחר כך לחזור על הפעולה פעמים רבות. הפרקטל שמתקבל הוא [[נקודת שבת|נקודת השבת]] של הפונקציה.
;משחק הכאוס: משחק המתבצע באופן הבא: בוחרים שלוש נקודות קבועות במישור המסומנות A,B,C. כמו כן בוחרים נקודה כלשהי אחרת במישור, כנקודת התחלה במשחק. בכל שלב במשחק מגרילים את אחת משלוש הנקודות הקבועות, ומניחים את הנקודה הבאה בחצי המרחק שבין הנקודה בה אנו נמצאים לנקודה הקבועה שנבחרה. התוצאה של המשחק היא נקודות היוצרות את משולש שרפינסקי, כאשר הוא מתוח בין שלוש הנקודות הקבועות. בעזרת חוקים דומים ניתן ליצור מגוון עצום של פרקטלים נוספים.▼
▲בשיטות אלו, כמו ב"[[פתית השלג של קוך]]" לדוגמה, מתחילים מצורה גאומטרית פשוטה ובכל שלב מסבכים אותה מעט. כאשר חוזרים על הפעולה אין-סוף פעמים מתקבל הפרקטל. דוגמה נוספת היא "[[עץ פיתגורס]]". שיטת ההחלפה יכולה ליצור גם פרקטלים אקראיים. לדוגמה בפתית השלג של קוך, בכל החלפה ניתן להניח את המשולש באחד משני צדי הקו. אם במקום להניח את המשולש תמיד מעל הקו, מניחים אותו באופן אקראי למעלה או למטה אזי מתקבל פרקטל אקראי.
;אוטומט תאי: [[אוטומט תאי|אוטומטים תאיים]] רבים יכולים ליצור פרקטלים. הדוגמה המוכרת ביותר היא כאשר לוקחים את [[משולש פסקל]], שאותו ניתן לראות כאוטומט תאי חד-ממדי, וצובעים את המספרים האי-זוגיים בשחור, והזוגיים בלבן. התוצאה המתקבלת היא משולש שרפינסקי.▼
▲משחק המתבצע באופן הבא: בוחרים שלוש נקודות קבועות במישור המסומנות A,B,C. כמו כן בוחרים נקודה כלשהי אחרת במישור, כנקודת התחלה במשחק. בכל שלב במשחק מגרילים את אחת משלוש הנקודות הקבועות, ומניחים את הנקודה הבאה בחצי המרחק שבין הנקודה בה אנו נמצאים לנקודה הקבועה שנבחרה. התוצאה של המשחק היא נקודות היוצרות את משולש שרפינסקי, כאשר הוא מתוח בין שלוש הנקודות הקבועות. בעזרת חוקים דומים ניתן ליצור מגוון עצום של פרקטלים נוספים.
▲[[אוטומט תאי|אוטומטים תאיים]] רבים יכולים ליצור פרקטלים. הדוגמה המוכרת ביותר היא כאשר לוקחים את [[משולש פסקל]], שאותו ניתן לראות כאוטומט תאי חד-ממדי, וצובעים את המספרים האי-זוגיים בשחור, והזוגיים בלבן. התוצאה המתקבלת היא משולש שרפינסקי.
▲כגון [[קבוצת מנדלברוט]], קבוצת ג'וליה, פרקטל ניוטון ופרקטל נובה.
▲[[קובץ:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|שמאל|ממוזער|200px|פרקטל [[קבוצת מנדלברוט]]]]
==ראו גם==
* [[תורת הכאוס]]
==לקריאה נוספת==
* פיל לפלנט, '''פרקטלמניה''', הוצאת אופוס, 1995
==קישורים חיצוניים==
שורה 68 ⟵ 61:
* [http://ory.ph.biu.ac.il/2000/Hebrew/fractals_html/html_ns/1B.htm על פרקטלים בעברית]
* [[יואב בן דב (פילוסוף מדע)|יואב בן דב]], [http://www.bendov.info/heb/ind/indifrac.htm הפרקטל ההודי]
* גלי ויינשטיין,
* מאירה זוננשיין [http://www.yesforscience.biu.ac.il/mediawiki/index.php/%D7%A4%D7%A8%D7%A7%D7%98%D7%9C%D7%99%D7%9D_-_%D7%98%D7%91%D7%A2%D7%99_%D7%99%D7%95%D7%AA%D7%A8_/_%D7%93%22%D7%A8_%D7%9E%D7%90%D7%99%D7%A8%D7%94_%D7%96%D7%95%D7%A0%D7%A0%D7%A9%D7%99%D7%99%D7%9F פרקטלים - טבעי יותר], באתר "בשביל המדע"
| |||