תורת ההפרעות – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 21:
:<math> f(0) = 2\cdot \varepsilon^0 + 0\cdot \varepsilon^1 + 0\cdot {\varepsilon}^2 </math>
הצבת הביטוי עבור <math>
:<math> f = \frac{\partial f_0}{\partial x} + \varepsilon \frac{\partial f_1}{\partial x} + \varepsilon^2 \frac{\partial f_2}{\partial x} + f_0 + \varepsilon f_1 +\varepsilon^2 f_2 - \varepsilon (f_0 + \varepsilon f_1 +\varepsilon^2 f_2 )^2 = 0</math>
שורה 30:
סדר זה נקרא הסדר המוביל, והוא מדויק מסדר ראשון. חיסורו מהמשוואה לעיל ייתן את הסדרים הבאים, שהם סדר <math> \varepsilon </math> וסדר <math> \varepsilon^2 </math>, בהתאמה.
:<math> O(\varepsilon): \frac{\partial
:<math> O({\varepsilon}^2): \frac{\partial
ניתן לפתור בהדרגה את המערכת לעיל, שהיא בעצם מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון. פתרון המשוואה הראשונה, כאמור: <math> f_0 = 2e^{-x} + O(\varepsilon) </math> כלומר ששגיאת הקיטוע היא מסדר <math> \varepsilon </math>. הצבה של פתרון זה במשוואה מסדר <math> \varepsilon </math> יתן <math> f_1 = 4e^{-x} - 4e^{-2x} + O(\varepsilon^2) </math>, וכן הלאה, כאשר בכל פעם ניתן לקבל פתרון מדויק יותר.
|