משפט ערך הביניים – הבדלי גרסאות

מ
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
[[תמונהקובץ:Intermediatevaluetheorem.png|שמאל|ממוזער|300px|המחשה גרפית של משפט ערך הביניים. u מספר בין ערכי הפונקציה בקצוות הקטע, ולכן קיים c בקטע כך ש-<math>f(c)=u</math>.]]
ב[[חשבון אינפיניטסימלי]], '''משפט ערך הביניים''' מספק ביסוס פורמלי לתכונה האינטואיטיבית של [[רציפות|פונקציות רציפות]] כפונקציות ש"ניתן לצייר אותן מבלי להרים את העיפרון מהדף". המשפט אומר כי כאשר [[פונקציה ממשית]] רציפה מקבלת שני ערכים שונים, היא תקבל כל ערך שביניהם.
 
עוד קודם ההוכחה הפורמלית למשפט ערך הביניים נעשה שימוש בתכונת ערך הביניים, ו[[סיימון סטאבין]] אף הוכיח את קיום התכונה עבור [[פולינום|פולינומים]]. לפני ההגדרה הפורמלית של [[רציפות]], היו שעשו שימוש בתכונת ערך הביניים כדי להגדיר אותה, אולם [[ברנרד בולצנו]] (בשנת [[1817]]) ו[[אוגוסטן לואי קושי]] (בשנת [[1821]]) הבינו שכדי לנסח את משפט ערך הביניים באופן מדויק יש להגדיר [[רציפות]] באופן המוכר לנו כיום.
 
==ניסוח פורמלי==
===ניסוח נוסף===
 
קיים ניסוח שקול למשפט ערך הביניים, המשתמש במונחים שקל יותר להכליל אותם ל[[מרחב טופולוגי]] כללי ([[#תכונת ערך הביניים|ראו להלן]]): תהי <math>\ f:I\rightarrow \mathbb{R}</math> פונקציה רציפה המוגדרת על קטע סגור <math> \ I= [a,b]\subseteq\mathbb{R}</math>. אז התמונה <math>\ f(I)</math> של הקטע תחת הפונקציה היא בעצמה קטע.
 
==הוכחה==
<math>
f(x)= \left\{\begin{matrix}
1 & \mbox{if } x\in A \\
0 & \mbox{if } x \in B \end{matrix}\right.
</math>
 
f(x)= \left\{\begin{matrix}
1 & \mbox{if } x<\sqrt2 \\
0 & \mbox{if } x>\sqrt2\end{matrix}\right.