אקסיומות ההפרדה – הבדלי גרסאות

'''אקסיומות ההפרדה''' (נקראות גם "'''תכונות ההפרדה'''") הן תכונות של [[מרחב טופולוגי]], הקשורות ביכולת של הטופולוגיה להפריד בין נקודות או קבוצות שונות במרחב. ישנן כתריסר אקסיומות שונות, שהחשובה שבהן היא [[מרחב האוסדורף|תכונת האוסדורף]], הקרויה גם תכונת <math>\ T_2</math>. לכמה מתכונות ההפרדה המרכזיות משתמשים בסימון <math>\ T_n</math>, עבור ערכים שונים של <math>\ n</math>. מקורה של האות T בהקשר זה הוא במלה ה[[גרמנית]] Trennung, שפירושה 'הפרדה'.

 

 

המינוח הקשור באקסיומות ההפרדה נודע כמינוח לא אחיד: בספרים שונים השתמשו באותם שמות כדי לתאר תכונות שונות, ולכן כשמצטטים תוצאות בתחום זה, חשוב לברר באיזו הגדרה השתמש המחבר. נקודת המוצא היא האקסיומה הקרויה <math>\ T_0</math>, שהיא דרישה פרימיטיבית באופן יחסי (כלומר, רוב המרחבים הטופולוגיים המופיעים בספרות, מקיימים אותה). בוויקיפדיה אנו מאמצים את הגישה המודרנית יותר, לפיה התכונות <math>\ T_3, T_4</math> ונגזרותיהן מכילות את ההנחה <math>\ T_0</math> כחלק מההגדרה, בעוד שמרחבים רגולריים ומרחבים נורמליים, על הוריאציות של תכונות אלה (ראו בהמשך), אינם נדרשים לקיים את התכונה הזו. בעבר, ובפרט בספר החשוב "Counterexamples in Topology" (שכתבו Steen ו- Seebach ב- [[1970]]), היה מקובל היפוך של המונחים.

== אקסיומות ההפרדה ==

 

* מרחב טופולוגי מקיים את התכונה <math>\ T_0</math>, אם לכל שתי נקודות שונות, קיימת קבוצה פתוחה המכילה אחת מהן אבל לא את השניה. במלים אחרות, לא קיימות שתי נקודות שיש להן בדיוק אותן [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]].

במרחב שאינו מקיים דרישה זו, ישנם זוגות של נקודות שאי אפשר להבחין ביניהן במשקפי הטופולוגיה.

 

התכונה <math>\ T_1</math> היא תכונה מעט חזקה יותר, מעין גירסה סימטרית של התכונה הקודמת:

תכונה זו שקולה לכך שכל נקודה מהווה קבוצה סגורה. כל מרחב <math>\ T_1</math> הוא בפרט <math>\ T_0</math>.

 

=== הפרדה בין נקודות ===

 

* [[מרחב האוסדורף]] שהוזכר קודם לכן, הוא מרחב טופולוגי, המקיים את הדרישה הבאה:

: לכל שתי נקודות <math>\ p \neq q</math>, קיימות קבוצות פתוחות ו'''זרות''', שאחת מהן מכילה את p, והשנייה את q.