המשפט הקטן של פרמה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
AutoIKhitron (שיחה | תרומות) clean up, replaced: [[קטגוריה: ← [[קטגוריה: באמצעות AWB |
|||
שורה 9:
נסתכל על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצת כל השאריות]] (מלבד 0) מודולו <math>\ p</math>:
<math>\ A=\{1,2,3,...,p-1\}</math>. [[כפל|נכפיל]] את כל האיברים בקבוצה ב-<math>\ a</math>, ונקבל את <math>\ B=\{a,2a,3a,...,a(p-1)\}</math>.
נראה שגם ב-B מופיעות אותן שאריות, כמו ב-A: הקבוצה אינה כוללת את <math>\ 0</math>, מכיוון שכל המספרים הם מכפלות של שני מספרים זרים ל-<math>\ p</math>, שהוא [[מספר ראשוני|ראשוני]], ולכן גם המכפלה זרה ל-<math>\ p</math>. מלבד זה, אין בקבוצה <math>\ B</math> שני מספרים זהים (הוכחה: [[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] ש- <math>\ an=am\pmod{p}</math>. מאחר ש-<math>\ a</math> זר ל-<math>\ p</math>, ניתן לחלק בו את שני צידי המשוואה ומתקבל ש-<math>\ \ n=m\pmod{p}</math>, מה שמוביל לסתירה).
שורה 22:
=== פעולת החבורה הראשונית ===
ה[[חבורה ציקלית|חבורה הציקלית]] <math>\ \mathbb{Z}_p</math> [[פעולת חבורה|פועלת]], על ידי סיבוב, על קבוצת הווקטורים באורך p מעל קבוצת הערכים <math>\ \{1,\dots,a\}</math>, שגודלה כמובן <math>\ a^p</math>. וקטור מהווה נקודת שבת ביחס לפעולה רק אם כל הרכיבים שלו שווים, וכאלה וקטורים יש בדיוק a. גודלו של כל מסלול חייב לחלק את [[סדר של חבורה|סדר החבורה]] p, ולכן <math>\ a^p-a</math> הווקטורים שאינם נקודות שבת שייכים למסלולים בגודל p; מכאן ש- p מחלק את <math>\ a^p-a</math>.
רעיון דומה מאפשר להוכיח את [[משפט קושי (תורת החבורות)|משפט קושי]] על קיום איבר מסדר ראשוני בחבורה. פעולה מסוג זה, של חבורה על וקטורים, היא נקודת המוצא של [[תורת פולייה]].
שורה 35:
[[קטגוריה:משפטים בתורת המספרים|פרמה]]
[[קטגוריה:
[[קטגוריה:הוכחות]]
[[קטגוריה:מבחני ראשוניות]]
| |||