השערת המספרים הראשוניים התאומים – הבדלי גרסאות

ב[[תורת המספרים]], '''השערת הראשוניים התאומים''' קובעת שישנם [[אינסוף]] זוגות של [[ראשוניים תאומים]], כלומר מספרים <math>\ p , p+2</math> ששניהם [[מספר ראשוני|ראשוניים]]. השערה זו היא אחת מן ה[[בעיה פתוחה במתמטיקה|בעיות הפתוחות]] המפורסמות ב[[תורת המספרים]] וב[[מתמטיקה]] בכלל.

 

 

== מספרם של הראשוניים התאומים ==

פרויקט מרובה משתתפים שהוקם בעקבות עבודתו של זאנג הצליח להוריד את ההפרש ל-5000. James Maynard הוריד את ההפרש ל-600{{הערה| James Maynard, [http://arxiv.org/abs/1311.4600 Small gaps between primes]}} באמצעות עידון של [[משפט בומביירי-וינוגרדוב]]. הכללה של שיטות אלה מאפשרת להראות שלכל m, יש אינסוף רווחים באורך <math>\ \exp(8m+5)</math> הכוללים m ראשוניים{{הערה|(Primes in intervals of bounded length, Andrew Granville, Bull AMS 52(2), 171--222 (2015}}.

 

 

 

ממשפט המספרים הראשוניים נובע שהסיכוי של מספר טבעי להיות ראשוני, כאשר בוחרים אותו באקראי מבין המספרים מ-1 עד x, הוא <math>\ \frac{1}{\log x}</math>. אם הראשוניות של המספר a ושל המספר a+2 היו מאורעות [[תלות (הסתברות)|בלתי תלויים]], אז אפשר היה לצפות שהסיכוי של a להיות הקטן מבין צמד של ראשוניים תאומים הוא <math>\ \frac{1}{(\log x)^2}</math>. מתברר שניתוח זה הוא פשטני מדי: הוא מתעלם מכך שאם a הוא הקטן מבין ראשוניים תאומים, אז יש לו p-2 שאריות אפשריות בחלוקה במספר ראשוני קטן p, בעוד שאם a הוא ראשוני סתם, יש לו p-1 שאריות אפשריות.