הבדלים בין גרסאות בדף "שטח"

נוספו 8,655 בתים ,  לפני 4 שנים
מ
שוחזר מעריכות של 31.210.189.31 (שיחה) לעריכה האחרונה של הנדב הנכון
מ (שוחזר מעריכות של 31.210.189.31 (שיחה) לעריכה האחרונה של הנדב הנכון)
{{פירוש נוסף|נוכחי=הגדרה המתמטית למושג "שטח"|אחר=הגדרת המושג במדעי המדינה|ראו=[[טריטוריה]]}}
[[קובץ:Triangle area.svg|שמאל|ממוזער|250px|שטח של [[משולש]] שווה לגובה (מסומן בורוד) כפול הבסיס (אדום) חלקי 2.]]
'''שטח''' הוא [[גודל פיזיקלי|גודל]] של תחום [[מישור (גאומטריה)|מישורי]] בהשוואה ליחידת מידה קבועה. באופן כללי יותר, אפשר לחשב שטח לכל [[יריעה]]; בפרט, [[שטח פנים|שטח הפנים]] של גוף [[מרחב תלת-ממדי|תלת-ממדי]] הוא שטח השפה, או הקליפה החיצונית, של הגוף.
 
שטח נמדד ב[[יחידת מידה|יחידות מידה]] של [[אורך]] בריבוע.
 
השטח של צורות בסיסיות כמו [[משולש]] ו[[עיגול]] ידוע באמצעות נוסחאות. צורות מורכבות יותר ניתן לפעמים לחלק לצורות בסיסיות בעלות שטח ידוע. שטח כללי ניתן לחשב באמצעות [[אינטגרל]], או באמצעות קירובים (גם בעזרת מחשב) בשיטות שונות. ניתן למדוד שטח באמצעות [[פלנימטר]].
 
מבחינה מתמטית פורמלית, שטח של צורה במישור מוגדר כ[[מידת לבג]] שלה.
 
==שטח של צורות בסיסיות במישור==
[[קובץ:Area.svg|שמאל|ממוזער|200px|שטח של מספר צורות על רשת]]
ב[[גאומטריה]] ישנן נוסחאות רבות הקשורות לחישובי שטחים:
* שטח [[מלבן]] שווה למכפלת [[אורך|אורכי]] שתי צלעות סמוכות: <math>\ S=a \cdot b </math>
* שטח [[טרפז]] שווה למכפלת חצי סכום הבסיסים בגובה הטרפז: <math> S={a+b \over 2} \cdot h </math>
* שטח [[משולש]] הוא חצי מכפלת בסיס המשולש ב[[גובה (גאומטריה)|גובה]]: <math>\ S=\frac{1}{2}a\cdot h </math>
:או מחצית המכפלה של שתי צלעות ו[[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]] הזווית שביניהן: <math>\ S = \frac{a \cdot b \cdot \sin(\measuredangle C)}{2} </math> כאשר <math>\ a, b</math>, הן צלעות במשולש ו-<math>\ \measuredangle C</math> היא הזווית שביניהן.
:או על פי [[נוסחת הרון|נוסחת הֵרון]]: <math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\,</math> כאשר <math>a, b, c\,</math> מייצגות את אורך כל אחת מצלעות המשולש, ו-<math>p\,</math> היא מחצית [[היקף]] המשולש: <math>p=\frac{a+b+c}{2}</math>
* שטח [[עיגול]] שרדיוסו <math>\ R</math> הוא <math>\ S = \pi R^2</math>.
* שטח [[אליפסה]] שאורכי ציריה הם <math>\ 2a</math> ו <math>\ 2b</math> הוא <math>\ S = \pi a b</math>.
 
==יחידות מידה לשטח==
 
* [[מטר רבוע]] (מ"ר)
* [[קילומטר רבוע]] (קמ"ר) = 1,000 מטר כפול 1,000 מטר = 1,000,000 (מיליון) מ"ר
* סנטימטר רבוע (סמ"ר) = 0.0001 (אחד חלקי עשרת אלפים) מ"ר
 
==יחידות מדידה מקובלות לשטחי קרקע==
 
'''[[מטר רבוע]]''' (מ"ר או מ²), השטח של ריבוע שאורך צלעו [[מטר]] אחד, הוא [[יחידת מידה]] בסיסית לשטחי קרקע, השייכת ל[[מערכת היחידות הבינלאומית]]. שטחים קטנים מקובל למדוד ביחידות מידה מתאימות, כמו [[סנטימטר רבוע]] (סמ"ר; 10,000 סמ"ר הם מ"ר אחד).
 
שטחי [[קרקע]] גדולים מודדים ב"[[דונם]]", השווה ל-1,000 מ"ר, או ב[[הקטאר]] השווה לעשרה דונם. בארצות המערב מקובל למדוד שטחים חלקיים ב[[אקר]], השווה לכ-4.047 דונם.
 
==שימושים לשטח==
* [[קרטוגרפיה|חקרטוגרפיה]] (מיפוי) היא תחום ידע העוסק במדידת וחישוב שטחים. מהנדסים המודדים שטח בונים [[רשת טריאנגולציה]], שהיא רשת נקודות על פני האדמה שיוצרת משולשים, אשר בעזרתם מחשבים שטחים. המכשיר המשמש במדידות אלו נקרא [[תיאודוליט]].
* [[שטח פנים]] הוא השפה או הקליפה החיצונים של גוף תלת ממדי. שטח הפנים הוא גודל חשוב למשל בכימיה, שכן הוא שולט על מהירותן של [[תגובה כימית|תגובות כימיות]]. ה[[נאדית|נאדיות]] שב[[ריאה|ריאות]] בגוף האדם בנויות באופן אשר מגדיל ככל האפשר את שטח הפנים שלהן בנפח הנתון, כדי לזרז את קליטת ה[[חמצן]] ב[[דם]].
* [[שטח חתך]] הוא השטח של [[חתך (גאומטריה)|חתך]] מישורי בגוף תלת ממדי. המונח משמש בהנדסה כדי לחשב [[מאמץ (הנדסה)|מאמץ]] בחומר, למשל כדי שכבל פלדה יעמוד בכפליים משקל, שטח החתך שלו צריך להיות כפול.
 
==שיטות לחישוב שטח של צורה כללית במישור==
בנוסף לנוסחאות שהוצגו עבור צורות פשוטות, ניתן לחשב שטח של צורה כללית באמצעות נוסחאות וכלים, פשוטים לשימוש ידני ומהיר, או מורכבים הדורשים מחשב.
 
===חלוקה לרשת===
קירוב לשטח של צורה כללית ניתן למצוא באופן ידני אם מניחים את הצורה על רשת של קווים במרחק קבוע וידוע זה מזה. סופרים את המשבצות שנמצאות בתוך הצורה, ומחברים את מחצית מספר המשבצות אשר נחתכות בגבול של הצורה. את המספר המתקבל מכפילים בשטח של כל משבצת, כלומר במרחק בין הקווים בריבוע, ומקבלים קירוב לשטח הצורה. הקירוב יהיה טוב יותר ככל שגודל המשבצות קטן יותר.
 
כאשר הצורה היא [[מצולע]] שכל קודקודיו נמצאים על הרשת ניתן לחשב את השטח במדויק על פי [[משפט פיק]].
 
ישנה שיטה נוספת שבה סופרים את מספר המשבצות שבתוך הצורה ומכפילים בשטח של משבצת אחת. לאחר מכן מחסרים את מספר המשבצות שמחוץ לצורה ממלבן המכיל את הצורה, ומכפילים את התוצאה בשטח של משבצת אחת. לבסוף משקללים את שני השטחים, והממוצע הוא קירוב של השטח.
 
===מהלך אקראי באמצעות מחשב===
[[קובץ:Montecarlo.png|שמאל|ממוזער|250px|חישוב שטח עיגול ב[[שיטת מונטה-קרלו]], באמצעות 2000 נקודות המוטלות באקראי.]]
שיטה דומה למשבצות היא תחימת הצורה בתוך ריבוע בגודל ידוע, והצבת נקודות [[משתנה אקראי|אקראיות]] בריבוע, הנבחרות באמצעות מחשב ([[שיטת מונטה-קרלו]]). שטח הצורה בקירוב הוא מספר הנקודות בתוך הצורה חלקי מספר הנקודות הכולל כפול שטח הריבוע. דיוק השיטה גדל כמו שורש מספר הנקודות.
 
===אינטגרל===
ה[[אינטגרל]] של [[פונקציה]] שווה לשטח שבין הפונקציה לציר ה-x. אם ניתן לכתוב היקף של צורה סגורה באמצעות שתי פונקציות, אז שטח הצורה הוא הפרש האינטגרלים של הפונקציות.
 
[[אינטגרל קווי]] על השפה של צורה סגורה ניתן להפוך באמצעות [[משפט גרין]] ל[[אינטגרל כפול]] של פונקציה קבועה, הנותן את שטח הצורה. אם הצורה הסגורה מלבנית, ניתן לחשב את השטח באמצעות [[משפט גרין דיסקרטי | משפט גרין הדיסקרטי]].
 
===פלנימטר===
[[פלנימטר]] הוא מכשיר מכני המודד שטח של צורה כלשהי, כאשר מעבירים את זרוע המכשיר על פני ההיקף של הצורה. המכשיר פועל בהסתמך על משפט גרין ונוסחת הסקטור של [[לייבניץ]], והומצא בשנת 1814.
 
== ראו גם ==
* [[שטח פנים]]
* [[היקף]]
* [[אורך]]
* [[נפח]]
* [[אינטגרל]]
* [[פלנימטר]]
==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=שטח}}
 
[[קטגוריה:גאומטריה]]
[[קטגוריה:שטח|*]]