חשבון אינפיניטסימלי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Yummy Berliner (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
AutoIKhitron (שיחה | תרומות) clean up באמצעות AWB |
||
שורה 20:
ניוטון פיתח את התאוריה שלו בין חורף 1664 לאוקטובר 1666, והפקיד סיכום של עבודתו בידי [[ג'ון קולינס]], יועצו של מזכיר [[החברה המלכותית]] הבריטית. לייבניץ החל לעבוד בנושא ב-1673. בין לייבניץ לניוטון פרץ סכסוך מר על הבכורה ביצירה זו, וכתוצאה ממנו נוצר חיץ, במשך שנים רבות, בין הפעילות המתמטית ב[[הממלכה המאוחדת|ממלכה המאוחדת]] לזו שבשאר [[אירופה]]. כתוצאה מכך התעכבה ההתפתחות של החשבון האינפיניטסימלי בממלכה המאוחדת, ורק בתחילת [[המאה ה-19]] אימצו הבריטים את מערכת המושגים והסימונים האירופית.
לייבניץ, ובייחוד ניוטון, ביססו את החדו"א על מושג ה"[[אינפיניטסימל]]" שהוא [[מספר ממשי]] "קטן באופן אינסופי". באופן יותר מדויק, ה"אינפיניטסימל" הוא גודל מתמטי (לא-שלילי) שקטן מכל [[מספר חיובי]] אך איננו [[0 (מספר)|אפס]]. גודל שכזה איננו יכול להיות מספר ממשי והוא מכיל סתירות עצמיות.
בעקבות מתקפה פילוסופית של [[ג'ורג' ברקלי]] ו[[דייוויד יום]] על היסודות הלוגים של החשבון האינפיניסטימלי של ניוטון, היה צורך לבסס את התחום על יסודות לוגיים מוצקים. ב[[המאה ה-19|מאה ה-19]] הצליח ה[[מתמטיקאי]] ה[[צרפת]]י [[אוגוסטין לואי קושי]] לבסס את מושג ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] באמצעות גדלים ממשיים וסופיים בלבד. ההגדרות של קושי החליפו את השימוש במושג האינפיניסטימל בשימוש במספרים ממשיים שיכולים להיות "קטנים כרצוננו" או "גדולים כרצוננו", והגבול הפך למספר שאליו אפשר להגיע "קרוב כרצוננו". כך, למשל, ה[[גבול של סדרה]] הוגדר בצורה הבאה: סדרה <math>\{ a_n \}_{n=1}^{\infty}</math> מתכנסת לגבול L אם לכל <math>0 < \varepsilon</math> קטן כרצוננו קיים <math>n_0</math> כך שלכל <math>n_0 < n</math> מתקיים <math>| a_n - L | < \varepsilon</math> (כלומר: המרחק בין [[כמעט כל]] איברי הסדרה לגבול L קטן כרצוננו). הגדרת הגבול של קושי נהפכה לאבן היסוד של התחום בצורתו המודרנית. את ביסוס תורת הגבולות וה[[טופולוגיה]] של [[הישר הממשי]] ביצעו בנוסף לקושי גם [[קארל ויירשטראס]] ו[[ברנרד בולצאנו|בולצאנו]]. תרמו גם [[ז'וזף לואי לגראנז'|לגראנז']], [[דארבו]] ו[[ברנרד רימן|רימן]].
בצורתו החדשה, החשבון האינפיניסטימלי היה אמין יותר אך היה מבוסס כולו על תכונות [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]], מושג שהוגדר אז באופן גאומטרי. בסוף המאה ה-19, המתמטיקאים [[גיאורג קנטור]] ו[[דדקינד]] בנו ייצוגים קונקרטיים למספרים הממשיים, שהתבססו על [[תורת הקבוצות]], במטרה לבסס את המושגים המתמטיים על ידי מושג ה[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]].
בתחילת [[המאה ה-20]], נעשו מספר ניסיונות על ידי כמה מתמטיקאים להכליל את מושג ה[[אינטגרל]]. וזאת מכיוון שהאינטגרל של רימן לוקה בכמה חסרונות. לדוגמה, אוסף הפונקציות שעליהן ניתן לבצע אינטגרציה לפי רימן אינו [[מרחב מטרי שלם|שלם]] לפי מספר [[נורמה (אנליזה)|נורמות]] טבעיות. ההכללה הטובה ביותר הייתה זו של [[אנרי לבג]], אשר פיתח את [[תורת המידה]] (שבמרכזה [[מידת לבג]] שהיא [[מידה (מתמטיקה)|מידה]] המכלילה את מושג ה[[אורך]]) ואת [[אינטגרל לבג]].
שורה 55:
{{אנליזה מתמטית}}
==
{{הערות שוליים}}
[[קטגוריה:אנליזה מתמטית]]
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי|*]]
|