מספר p-אדי – הבדלי גרסאות

: <math>...222 + 1 = 0</math>

במקרה הכללי מתקיים ש-<math> -1 = \sum_{n=0}^{\infty} (p-1) \cdot p^n</math>. אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של <math>p=3</math> אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של [[טור הנדסי|טור הנדסי אינסופי]] (שהרי טור בחזקות הולכות וגודלותוגדלות של p מתכנס במטריקה ה-p-אדית). כאן <math>a_0 = p-1 , q = p</math> ולכן

: <math>a_n = \frac{ x_{n+1} - x_n }{p^n}= x_{n+1} \ \mathrm{div} \ p^n</math>

קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], הקרוי [[שדה המספרים ה-p-אדיים]]. אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב-<math>\mathbb{Z}_p</math>, מהווה [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] [[חוג מקומי|מקומי]] בשם [[חוג השלמים ה-p-אדיים]], המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין [[חוג המספרים השלמים]] ל[[שדה המספרים הרציונליים]]. לשדה המספרים ה-p אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר ה[[אריתמטיקה]] של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח של[[משוואה דיופנטית]] אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות 7-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעתים קרובות משימה קלה בהרבה.

כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא [[גבול פרויקטיבי]] של החבורות הציקליות מסדר <math>\ p^n</math>. אוסף ההעתקות הרציפות מ-<math>\mathbb{Z}_p</math> למעגל היחידה המרוכב הוא ה[[חבורה חליקה|חבורה החליקה]] <math>\mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z} = \cup_{n=1}^{\infty} p^{-n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}</math>.

* אנדרו בייקר, [http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf הרצאות בקורס על מבוא למספרים p-אדים], [[אוניברסיטת גלאזגו]], [[סקוטלנד]], 2011