|
ב[[תורת הקטגוריות]], ענף של [[מתמטיקה|המתמטיקה]], '''העתקה טבעית''' מספקת דרך לעבור מ[[פנקטור]] אחד לאחר תוך כיבודשמירת המבנה הפנימי (כלומר הרכבה של [[מורפיזם|מורפיזמים]]) של ה[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריות]]. לכן, העתקה טבעית יכולה להיחשב "מורפיזם של פנקטורים". אמירה אינטואיטיבית זו יכולה לקבל צורה פורמלית ע"י הגדרת [[קטגוריית הפנקטורים]]. אחרי קטגוריות ופנקטורים, העתקות טבעיות הן אחד המושגים הבסיסיים ביותר בתורת הקטגוריות ולפיכך הם מופיעים ברוב היישומים שלה.
== הגדרה ==
אם ''<math>F''</math> ו-''<math>G''</math> הם פנקטורים בין הקטגוריות ''<math>C''</math> ו-''<math>D''</math>, אזי '''העתקה טבעית''' ''η''<math>\eta</math> מ-''<math>F''</math> ל''-G''<math>G</math> היא משפחה של מורפיזמים המקיימים שתי דרישות.
# η<math>\eta</math> נותנת לכל אובייקט'' ''<spanmath>X</spanmath>'' ב-C ''מורפיזם ב <span class="nowrap"math>''η''<sub>''X''C</submath>מורפיזם <span> </spanmath>\eta_X: ''F''(''X'')\rightarrow → ''G''(''X'')</spanmath> בין אובייקטים של ''<math>D''</math>. המורפיזם ''η''<submath>''X''\eta_X</submath> נקרא '''הרכיב''' של ''η''<math>\eta</math> ב-''<math>X''</math>.
# עבור כל מורפיזם <math>f : X →\rightarrow Y</math> ב-''<math>C''</math> על הרכיבים ηY<math>\eta_Y</math> ,ηX<math>\eta_X</math> לקיים:<math></math>
::: <math />
אפשר לבטא את השוויון האחרון גם באמצעות [[דיאגרמה קומוטטיבית]]:
: [[קובץ:Natural_transformation.svg|175x175 פיקסלים]]
אם '' <math>F''</math> ו-''<math>G'' </math> שניהם פנקטורים קונטרה-וריאנטים, החצים האופקיים בתרשים הפוכים. אם ''η''<math>\eta</math> העתקה טבעית מ-''<math>F''</math> אל ''<math>G''</math>, נהוג גם לכתוב <span class="nowrap">''η''<span> </spanmath>\eta: ''F''\rightarrow → ''G''</spanmath><span class="nowrap"></span> או <span class="nowrap">''η''<span> </spanmath>\eta: ''F''\Rightarrow ⇒ ''G''</spanmath><span class="nowrap"></span>. אפשר גם לומר כי המשפחה של המורפיזמים <span class="nowrap">''η''<sub>''X''</sub><span> </spanmath>\eta_X: ''F''(''X'')\rightarrow → ''G''(''X'')</spanmath> '''טבעית''' ב-''<math>X''</math>.
אם לכל אובייקט ''<math>X''</math> ב-<math>C</math>''C, ''המורפיזם ηX<math>\eta_X</math> הוא [[איזומורפיזם]] ב-''<math>D''</math>, אז ''η''<math>\eta</math> נקרא '''<span id="natural isomorphism">איזומורפיזם טבעי</span>''' (או '''איזומורפיזם של פנקטורים'''). שני פנקטורים ''<math>F''</math> ו-''<math>G''</math> נקראים ''איזומורפיים'' אם קיים איזומורפיזם טבעי מ-''<math>F''</math> ל''-G''<math>G</math>.
עבור ''η''<math>\eta</math> מ-''<math>F''</math> ל''-G''<math>G</math> כללי (שאינו בהכרח טבעי), ה-'''naturalizer''' של η<math>\eta</math>, <math>nat(η\eta)</math>, מוגדר כ[[תת-קטגוריה]] הגדולה ביותר של ''<math>C''</math> המכילה את כל האובייקטים של <math>C</math>, כך ש-η<math>\eta</math> מצטמצם להעתקה טבעית.
== דוגמאות ==
=== דטרמיננטה ===
<div style="direction: rtl;">נסתכל על שני פנקטורים ''<math>F,</math> ו-<math>G'' </math> מהקטגוריה של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים קומוטטיבים]], '''''CRing''', ''לקטגוריה של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]], '''''Grp'''. ''הפנקטור ''<math>F''</math> ישלח חוג קומוטטיבי <math>K</math> לחבורת [[החבורה הלינארית הכללית|המטריצות]] ''GLn<math>GL_n(K()</math>''. ''הפנקטור ''<math>G''</math> ישלח את אותו חוג ל[[חבורה כפלית|חבורה הכפלית]] <math>K^*</math>. נגדיר ''η''<math>\eta</math> מ-''<math>F''</math> ל''-''<math>G</math> ''כך שלכל ''<math>K''</math> כנ"ל, ηK<math>\eta_K: F(K) →\rightarrow G(K)</math> תשלח מטריצה ל[[דטרמיננטה]] שלה. באופן זה מתקבלת העתקה טבעית.<br>
</div>
== היסטוריה ==
סאונדרס מקליין (Saunders Mac Lane), אחד המייסדים של תורת הקטגוריות, העיר פעם "אני לא המצאתי קטגוריות כדי ללמוד פנקטורים; המצאתי זאת כדי ללמוד העתקות טבעיות."<ref><span>(</span>[[Natural transformation#CITEREFMac Lane1998|Mac ליין 1998]]<span>, §4. I)</span></ref> כשם שהמחקר של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] אינו שלם בלי מחקר של [[הומומורפיזם|הומומורפיזמים]], כך המחקר של קטגוריות אינו שלם בלי מחקר של פנקטורים. הסיבה להערה של מקליין היא שהמחקר של פנקטורים בעצמו אינו שלם ללא המחקר של העתקות טבעיות.
הרקע לדברים של מקליין היה תורת [[הומולוגיה (מתמטיקה)|ההומולוגיה]] האקסיומטית. ניתן היה להראות כי דרכים שונות לבניית הומולוגיה הן שקולות, לדוגמא [[קומפלקס סימפליציאלי|קומפלקסים סימפליציאלים]] נמצאו איזומורפים ל[[קומפלקס סינגולרי|קומפלקסים סינגולריים]], ללא השפה של העתקות טבעיות, קשה היה לראות כיצד [[חבורות ההומולוגיה|חבורות הומולוגיה]] תואמות למורפיזמים בין אובייקטים, וכיצד לשתי תורות הומולוגיה שקולות יש לא רק את אותם חבורות הומולוגיה, אלא גם את אותם מורפיזמים בין אותן חבורות.
== הערות ==
<div class="reflist" style="list-style-type: lower-alpha;">
<references /></div>
== מקורות ==
| 