הבדלים בין גרסאות בדף "פונקציות זוגיות ואי-זוגיות"

אין תקציר עריכה
'''פונקציות זוגיות ואי-זוגיות''' הן [[פונקציה ממשית|פונקציות ממשיות]] בעלות [[סימטריה]] מוגדרת ביחס לישר <math>\ x=0</math> (כלומר לציר ה<math>Y</math>).
 
==פונקציה זוגית==
'''הגדרה:''' ערכה זהה עבור כל מספר בתחום ההגדרה ועבור ה[[מספר נגדי|מספר הנגדי]] לו, כלומר <math>\ f(x)=f(-x)</math>.
 
'''סימטריה:''' כל פונקציה זוגית היא סימטרית ביחס לציר ה<math>Y</math>.
 
'''דוגמאות''' של פונקציות זוגיות:
 
==פונקציה אי-זוגית==
'''הגדרה:''' ערכה עבור כל מספר בתחום ההגדרה הוא המספר הנגדי של ערכה עבור המספר הנגדי לו, כלומר <math>\ f(-x)=-f(x)</math>.
 
'''סימטריה:''' כל פונקציה אי-זוגית היא אנטי-סימטרית ביחס לציר ה<math>Y</math> (כלומר סימטריתיש ביחסלה לסיבובסימטריית סיבוב של <math>180^0</math> סביב לראשית).
 
'''דוגמאות''' של פונקציות אי-זוגיות:
'''הגדרה:''' פונקציה שאינה פונקציה זוגית ואינה פונקציה אי-זוגית הינה פונקציה כללית כלומר ש- <math>\ f(x)\ne f(-x)</math>וגם - <math>\ f(-x)\ne -f(x)</math>.
 
ניתן לייצג כל פונקציה באמצעות סכום של פונקציה זוגית ואי זוגית באופן הבא: <math>\ f(x)=f_{\text{even}}(x)+f_{\text{odd}}(x)</math><br />
:וזאת כאשר: <math>f_{\text{even}}(x) = {f(x) + f(-x) \over 2}</math> ו <math>f_{\text{odd}}(x) = {f(x) - f(-x) \over 2}</math>
<br />
יצוג זה הוא יחיד. מכאן נובע ש[[מרחב וקטורי|מרחב]] הפונקציות כולן מהווה [[סכום ישר]] של מרחבי הפונקציות הזוגיות והאי-זוגיות (כשחיבור וכפל בסקלר מוגדרים נקודתית).
 
לפעמים, עבור פונקציות מרוכבות, הפונקציה הזוגיות והאי זוגית מיוצגים בהתאמה באופן הבא:<br />
<math>f_{\text{even}}(x) = f_{\text{even}}^*(-x) </math> ו <math>f_{\text{odd}}(x) =- f_{\text{odd}}^*(-x) </math><br />
 
בצורת כתיבה זאת ניתן להוכיח בקלות רבה תכונות של [[התמרת פורייה]].
<br />
 
==תכונות==
*'''[[סכום]] פונקציות:'''
**סכום של פונקציות זוגיות הוא פונקציה זוגית (בפרט, בפתוח של [[פונקציה אנליטית]] זוגית ל[[טור טיילור]] יופיעו רק חזקות זוגיות ובפתוח של פונקציה זוגית מ-<math>L^1</math> ל[[טור פורייה]] יופיעו רק איברי הקוסינוס).
**סכום של פונקציות אי-זוגיות הוא פונקציה אי-זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית אי-זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות אי-זוגיות ובפתוח של פונקציה אי-זוגית מ-<math>L^1</math> לטור פורייה יופיעו רק איברי הסינוס).
 
*'''[[מכפלה|מכפלת]] פונקציות:'''
**מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
**מכפלה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
1,514

עריכות