השערת הרצף – הבדלי גרסאות

אחרי עשרות שנים שבהן בעיה זו הייתה [[בעיה פתוחה במתמטיקה|פתוחה]], הוכיחו [[קורט גדל]] ו[[פול כהן]] כי היא אינה תלויה ב[[אקסיומה|אקסיומות]] המקובלות של [[תורת הקבוצות]], אקסיומות [[אקסיומות צרמלו-פרנקל|צרמלו-פרנקל]]. ה[[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקביות]] של תורת הקבוצות לא תינזק אם נוסיף אקסיומה הקובעת שההשערה נכונה, וגם לא אם נוסיף אקסיומה הקובעת שהיא אינה נכונה.

[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] היא דרך מדויקת להתייחס ל'גודל' של קבוצות אינסופיות. לשתי קבוצות [[קבוצות שקולות|יש אותה עוצמה]] אם קיימת [[פונקציה]] מהקבוצה הראשונה לשנייה, המתאימה כל איבר בזו לאיבר אחד ו[[חד-חד ערכית|יחיד]] בזו, כך [[התאמה על|שכל]] איבר בקבוצה השנייה מותאם לאיבר בראשונה. קנטור הראה כי עוצמתה של [[קבוצת המספרים הטבעיים]], שמסומנת <math>\aleph_0</math>, היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר. עוצמתה של קבוצת [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]], המכונה [[עוצמת הרצף]] ומסומנת <math>\ \aleph</math> (או <math>\ c</math>), שווה לעוצמה של קבוצת כל הקבוצות של מספריםהמספרים טבעייםהטבעיים, אותה מסמנים ב- <math>\ 2^{\aleph_0}</math>. קנטור הראה באמצעות שיטת [[האלכסון של קנטור|האלכסון]] שפיתח, כי העוצמה <math>\ 2^{\aleph_0}</math> גדולה יותר מ- <math>\ \aleph_0</math>.

ב-1943 הוכיחו [[פאול ארדש]] ושיזו קקוטני{{הערה|On non-denumerable graphs, Bull. Amer. Math. Soc. 49, (1943). 457–461.}} שהשערת הרצף נכונה [[אם ורק אם]] אפשר לפרק את הממשיים למספר בן-מניה של קבוצות, שכל אחת מהן היא [[תלות (אלגברה לינארית)|קבוצה בלתי תלויה]] מעל הרציונליים. תכונה זו אפשר לנסח גם כך: השערת הרצף שקולה לכך שקיימת צביעה של הממשיים במספר בן-מניה של צבעים, כך שלמשוואה <math>\ w+x=y+z</math> לא קיים פתרון במספרים ממשיים שווי-צבע ושונים.