הבדלים בין גרסאות בדף "הפרדת משתנים"

נוספו 5,992 בתים ,  לפני 4 שנים
אין תקציר עריכה
מ (בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q913323)
: <math>\int \frac{1}{h(y)}dy + C_2 = \int g(x) dx + C_1</math>.
הערה: אפשר להסתפק בקבוע אינטגרציה אחד, שכן <math>C = C_1 - C_2</math>.
 
==הפרדת משתנים במשוואה דיפרנציאלית חלקית==
 
בהינתן משוואה דיפרנציאלית חלקית עבור הפונקציה <math>\psi(\vec{x}, \vec{y})</math>, ניתן "לנחש פתרון" שבו הפונקציה <math>\psi</math> ניתנת להצגה כמכפלה של שתי פונקציות <math>\psi(\vec{x}, \vec{y})=f(\vec{x})\cdot g(\vec{y})</math>. כעת, ניתן לקחת את כל הנגזרות ולעבור ל<math>\frac{\partial \psi}{\partial x_i}=g\cdot \frac{\partial f}{\partial x_i}</math> וכך בדומה לנגזרות לפי <math>y_i</math>. כעת, השאיפה שלנו היא להפעיל על המשוואה מניפולציות אלגבריות, עד שהיא מגיעה לצורה כזו: <math display="block">h_x(f, \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j},\frac{\partial^3 f}{\partial x_i \partial x_j \partial x_k},\dots)=h_y(g, \frac{\partial g}{\partial y_i}, \frac{\partial^2 g}{\partial y_i \partial y_j},\frac{\partial^3 g}{\partial y_i \partial y_j \partial y_k},\dots)</math>. מדוע זה טוב לנו? מפני שהפונקציה באגף שמאל תלויה אך ורק בx, והפונקציה באגף ימין תלויה אך ורק בy. אם כך, אנחנו מקבלים שאגף שמאל לא יכול להיות תלוי בx - הרי שינוי של x בלבד ישפיע על אגף שמאל ולא על אגף ימין, אבל אז לא ייתכן שהם יישארו שווים. לכן שני האגפים שווים שניהם לקבוע שמכונה "'''קבוע ההפרדה'''". כעת, הפרדת המשתנים העבירה אותנו ממשוואה אחת ב"הרבה" נעלמים, לשתי משוואות עם פחות נעלמים בכל אחת. אם נמשיך לבצע הפרדות משתנים נגיע לבסוף למד"ר.
עם זאת, נשים לב שהפרדת משתנים פוגעת במעט תמיד בכלליות הפתרונות - למשל, ב[[משוואת שרדינגר]], כל פונקציית גל חוקית מקיימת את המשוואה אבל הפרדת משתנים מצמצמת אותנו לפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כפול פונקציה זמנית. עם זאת, לעתים (כמו במשוואת שרדינגר) כל פתרון למשוואה ניתן להצגה כסכום של פתרונות המתקבלים מהפרדת המשתנים. במקרה זה לא הפסדנו הרבה.
 
== דוגמאות לשימוש בהפרדת משתנים ==
שאותן קל יותר לפתור (בדוגמה זו מדובר במשוואות [[אוסצילטור הרמוני]] שפתרונן ידוע).
 
===דוגמה נוספת לשימוש: משוואת שרדינגר===
משוואת שרדינגר היא המשוואה היסודית במכניקת הקוונטים הלא-יחסותית. הנה פתרונה, באמצעות הפרדת משתנים:
מנחשים פתרון מהצורה
:<math>\psi (t,\vec{r})=T(t)\cdot\Psi(r)</math>
מציבים את הביטוי במשוואה התלויה בזמן ומקבלים
:<math>i \hbar \Psi\cdot\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}T\cdot\nabla^2\Psi+V(\vec{r})T\Psi</math>
מחלקים ב<math>\psi=T(t)\cdot\Psi(\vec{r})</math> ומקבלים
:<math>i\hbar\frac{1}{T(t)}\cdot\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{\Psi(\vec{r})}\cdot\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\nabla^2\Psi+V(\vec(r))</math>
אגף שמאל תלוי רק בזמן, ואגף ימין רק במרחב, והם שווים תמיד לכן קבועים. נקרע ל[[קבוע הפרדה|קבוע ההפרדה]] <math>E</math>(שכן הוא מה שאנחנו תופסים כאנרגיה).
המשוואה עבור הזמן תהיה(לאחר העברת אגפים)
:<math>\frac{\partial T}{\partial t}=-i\frac{E}{\hbar} T(t)</math>
:שפתרונה הוא האקספוננט המדומה <math>T(t)=e^{-i\frac{E}{\hbar}t}</math>. נשים לב רק שE הוא קבוע עבור פתרון ספציפי, אבל ישנה סדרה של פתרונות ולכן נהוג לסמן אותו כ<math>E_{n}</math>.
 
כעת נותרנו עם הפונקציה <math> \psi (t,\vec{r}) = e^{-iEt/{\hbar}} \Psi (\vec{r})</math>,
ועבור <math>\Psi</math> מקבלים את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:
:: <math> E \Psi (\vec{r}) = \frac{- \hbar ^2}{2m} \nabla ^2 \Psi (\vec{r}) + V(\vec{r}) \Psi (\vec{r}) </math>
זוהי משוואת ערכים עצמיים שאפשר לפתור באמצעות [[תורת שטורם ליוביל]]. למעשה אנחנו מחפשים פונקציות <math>\Psi_n</math> כך ש
: <math> \ H \Psi_n = E_n \Psi_n</math> ,
כלומר: פעולת אופרטור ההמילטוניאן עליהן פשוט מחזירה את הפונקציה כפול ה[[אנרגיה]] שלה. אנרגיות אלה (שהן [[ערך עצמי|הערכים העצמיים]] של המד"ר) נקראות "האנרגיות העצמיות" ואילו הפונקציות המתאימות להן נקראות "המצבים העצמיים". נעיר שאת המצבים העצמיים נהוג ל[[וקטור יחידה|נרמל]], כלומר - לכפול במקדם [[סקלר (מתמטיקה)|סקלרי]] כך ש <math> \lang \Psi_n | \Psi_n \rang = 1</math> . דרישת הנרמול נובעת מהפירוש ה[[הסתברות]]י של [[מכניקת הקוונטים]].
 
מאחר שזו משוואה [[אלגברה לינארית|לינארית]], את הפתרון הכללי אפשר להציג כ[[סופרפוזיציה]] של המצבים העצמיים, כלומר:
 
::: <math> \psi (t,\vec{r}) = \sum_{n}{ A_n \Psi_n (\vec{r}) e^{-\frac{i}{\hbar}E_n t}}</math>
 
במקרה של משוואת שרדינגר, ניתן להשתמש בדרישה שעל ההמילטוניאן להיות הרמיטי, ולכן להסיק כי אכן, צירופים לינאריים כאלו מכסים את כל הפתרונות.
נשים לב שההפרדה פה לא קידמה אותנו "עד הסוף" שכן נותרנו עדיין עם משוואה בשלושה מימדים - אך פעמים רבות ניתן להפריד בה משתנים שוב.
[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות]]
443

עריכות