משפטי האיזומורפיזם – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
סקריפט ההחלפות. |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
ב[[אלגברה]], '''משפטי
מן המשפטים האלה נובעת התאמה בין סריג תת-החבורות של חבורה G המכילות תת-חבורה N, לבין סריג תת-החבורות של חבורת המנה G/N. [[משפט ההתאמה]] הזה נקרא לפעמים "משפט האיזומורפיזם הרביעי".
==משפט האיזומורפיזם הראשון==
===תיאור===
בהינתן [[הומומורפיזם (בתורת החבורות)|הומומורפיזם]] כלשהו, [[חבורת מנה|חבורת המנה]] המתקבלת מתחום ההומומורפיזם מודולו גרעין ההומומורפיזם [[איזומורפיזם
===ניסוח===
:'''משפט:''' תהיינה <math>\ G,H</math> חבורות, ויהא <math>\ \varphi:G\rarr H</math> הומומורפיזם. אז מתקיים <math>\ G/\mbox{Ker}\left(\varphi\right)\cong \mbox{Im}\left(\varphi\right)</math>.
הערה: חבורת המנה מוגדרת היטב כי גרעין של הומומורפיזם הוא תמיד [[תת חבורה נורמלית]].
===הוכחה===
נבנה את האיזומורפיזם הדרוש. נסמן <math>\ \mbox{Ker}\left(\varphi\right)=K</math> ונגדיר פונקציה <math>\ \Psi :G/K\rarr \mbox{Im}\left(\varphi\right)</math> כך: <math>\ \Psi\left(aK\right)=\varphi\left(a\right)</math>.
כעת נראה כי הפונקציה היא איזומורפיזם.
* הפונקציה מוגדרת היטב (כלומר, אם ניקח נציגים שונים עבור אותה מחלקת שקילות, נקבל אותה תוצאה): נניח כי <math>\ aK=bK</math> (נשים לב כי אלו [[מחלקה (תורת החבורות)|מחלקות (קוסטים)]]). אז <math>\ b\cdot a^{-1}\isin K</math>.
:כעת, <math>\ \Psi\left(aK\right)=\varphi\left(a\right)=\varphi\left(b\cdot a^{-1}\right)\cdot\varphi\left(a\right)=\varphi\left(b\cdot a^{-1}\cdot a\right)=\varphi\left(b\right)=\Psi\left(bK\right)</math> וקיבלנו שהפונקציה מוגדרת היטב.
* הפונקציה היא הומומורפיזם: <math>\ \Psi\left(aK\cdot bK\right)=\Psi\left(abK\right)=\varphi\left(ab\right)=\varphi\left(a\right)\cdot\varphi\left(b\right)=\Psi(aK)\cdot\Psi(bK)</math>.
* הפונקציה היא על: יהא <math>\ h\isin \mbox{Im}\left(\varphi\right)</math> כלשהו. על-פי הגדרת התמונה, קיים <math>\ x\isin G</math> כך ש<math>\ \varphi(x)=h</math>. על כן, <math>\ \Psi(xK)=\varphi(x)=h</math> והראינו שהפונקציה על.
* הפונקציה היא חד חד ערכית: נניח כי <math>\ \Psi(aK)=\Psi(bK)</math>, אז <math>\ \varphi(a)=\varphi(b)</math>, כלומר <math>\ \varphi(a)\varphi(b)^{-1}=e</math>, כלומר <math>\ \varphi(ab^{-1})=e</math>, כלומר <math>\ ab^{-1}\isin K</math>, כלומר <math>\ aK=bK</math>.
הראינו שהפונקציה מוגדרת היטב, והיא הומומורפיזם חד חד ערכי ועל, כלומר היא איזומורפיזם. בכך הושלמה הוכחת המשפט.
| |||