הבדלים בין גרסאות בדף "איזומורפיזם"

הוסרו 17 בתים ,  לפני 3 שנים
אין תקציר עריכה
{{פירוש נוסף|נוכחי=התאמהמונח מתמטיתמתמטי}}
 
ב[[מתמטיקה]], שני [[מבנה (מתמטיקה)|מבנים]] הם '''איזומורפיים''' אם אפשר להתאים ביניהם באופן ששומר על המאפיינים המגדירים את המבנה. במקרה כזה, ההתאמה נקראת '''איזומורפיזם''', וקיומה מראה ששני המבנים חולקים אותן תכונות, גם אם הם נקראים בשמות שונים. איזומורפיזם בין מבנים מראה שהם זהים מכל בחינה בעלת עניין במסגרת התורה בה עוסקים בהם. מקור המלה מ[[יוונית]]: "איזוס" (שווה) ו"מורפֶה" (מבנה).
 
בכמה מקרים קוראים למבנים איזומורפיים בשם מיוחד: איזומורפיזם של [[מרחב טופולוגי|מרחבים טופולוגיים]] נקרא "[[הומיאומורפיזם]]", איזומורפיזם של [[יריעה|יריעות דיפרנציאליות]] נקרא "[[דיפאומורפיזם]]", ואיזומורפיזם של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]] נקרא "[[איזומטריה]]". השם הייחודי מדגיש תכונות מסוימות של המבנה ומונע בלבול (למשל, בשאלה האם שני מרחבים מטריים איזומורפיים ככאלה, או רק כמרחבים טופולוגיים).
 
==הגדרה מתמטית כללית==
 
אם <math>S_1</math> ו-<math>S_2</math> הם שני [[מבנה (לוגיקה)|מבנים מתמטיים]] של אותה [[שפה מסדר ראשון|שפה]] L של [[תחשיב היחסים]], אז [[פונקציה]] <math>\ H:S_1\rightarrow S_2</math> נקראת '''איזומורפיזם''' ביניהם אם:
* לכל קבוע a של השפה L מתקיים <math>\ H(S_1(a)) = S_2(a)</math>.
פונקציה המקיימת את שלוש הדרישות הראשונות נקראת [[הומומורפיזם]]. אם <math>\ S_1 = S_2</math>, אז הומומורפיזם נקרא "אנדומורפיזם", ואיזומורפיזם נקרא [[אוטומורפיזם]].
 
== הגדרה במונחים שלבמונחי תורת הקטגוריות ==
 
ב[[תורת הקטגוריות]], [[מורפיזם]] <math>f:a \to b</math> ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] C נקרא "איזומורפיזם", אם הוא הפיך בקטגוריה, כלומר, קיים מורפיזם <math>\ g:b \to a</math> כך שמתקיים <math>\ f \circ g = 1_b</math> ו- <math>\ g \circ f = 1_a</math>.
 
בקטגוריות רבות ההגדרה הזו מתלכדת עם ההגדרה הקודמת, אך הדבר אינו נכון באופן כללי.
 
==הגדרה באלגברה==
==מבנים אלגבריים==
 
===איזומורפיזם בין חבורות===
 
אם <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> הן שתי [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]], וקיימת [[פונקציה חד-חד ערכית ועל]] <math>\ f: A \mapsto B</math> כך שעבור כל צמד איברים <math>\ \alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>\ f(\alpha \cdot \beta) = f(\alpha) \cdot f(\beta)</math>, אז<math>\ A</math> ו<math>\ B</math> איזומורפיות זו לזו. אפשר להבין את ה"שוויון" בין החבורות, על ידי כך שנסמן את האיברים <math>\ f(\alpha),f(\beta)\in B</math> פשוט כ <math>\ \alpha,\beta</math>. לכן אפשר לראות שלכל מטרה מעשית, ההבדל בין החבורות הוא הבדל בסימון בלבד.
 
אפשר לראות שהאיזומורפיזם מקיים [[יחס שקילות]]:
* רפלקסיביות - ניקח חבורה <math>\ A</math> ונגדיר פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>\ f: A \mapsto A</math> כך שעבור כל איבר <math>\ \alpha \in A</math> מתקיים <math>\ f(\alpha ) = \alpha</math>. אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן <math>\ A \cong A</math>.
 
====דוגמאות לאיזומורפיזם של חבורות====
 
* החבורה <math>\ A \equiv \{ 1,-1,i,-i\} </math> תחת פעולת הכפל, היא איזומורפית לחבורה <math>\ B\equiv \{ 0,1,2,3\}</math> תחת פעולת החיבור מודולו 4. פונקציית האיזומורפיזם היא <math>\ f(0) = 1 , f(1)=i, f(2)=-1, f(3)=-i</math>.
* החבורה <math>\ C \equiv \left\{ \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix} \right\} </math> תחת פעולת [[כפל מטריצות|הכפל]] איזומורפית ל<math>\ A</math> (ולכן, גם ל<math>\ B</math>). פונקציית האיזומורפיזם היא <math>\ f\left(\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\right) = 1 , f\left(\begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}\right)=i, f\left(\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix}\right)=-i, f\left(\begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\right)=-1</math>.
 
===איזומורפיזם בין חוגים===
 
באופן דומה, אם <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> הם שני [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]], וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>\ f: A \mapsto B</math> כך שעבור כל צמד איברים <math>\ \alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>\ f(\alpha \cdot \beta) = f(\alpha) \cdot f(\beta)</math>, <math>\ f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)</math> וגם <math>\ f(1)=1 </math> (התנאי האחרון רלוונטי רק לחוגים עם יחידה) אז<math>\ A</math> ו<math>\ B</math> איזומורפיים זה לזה.<br>
 
===איזומורפיזם בין מודולים===
 
באופן דומה, אם <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> הם שני [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]] שמאליים מעל חוג <math>\ R</math>, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>\ f: A \mapsto B</math> כך שעבור כל צמד איברים <math>\ \alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>\ f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)</math>, וגם עבור כל <math>r\in R</math> מתקיים <math>\ f(r\alpha ) = r f(\alpha)</math> אז<math>\ A</math> ו<math>\ B</math> איזומורפיים זה לזה.
 
 
===איזומורפיזם בין אלגברות===
 
באופן דומה, אם <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> הן שתי [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברות]] שמקיימות את תנאי האיזומורפיות כמודול עברו הפונקציה <math>\ f: A \mapsto B</math> ובנוסף עבור כל צמד איברים <math>\ \alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>\ f(\alpha \star \beta) = f(\alpha) \star f(\beta)</math>, אז<math>\ A</math> ו<math>\ B</math> איזומורפיות זו לזו.
 
==איזומורפיזם בין גרפים==
 
אם <math>\ (V_1,E_1)</math> ו<math>\ (V_2,E_2)</math> הם שני [[תורת הגרפים|גרפים]], וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>\ f: V_1 \mapsto V_2</math> כך שקיימת קשת ב<math>\ E_1</math> בין <math>\ v\in V_1</math> לבין <math>\ u\in V_1</math> אם ורק אם קיימת קשת ב<math>\ E_2</math> בין ב<math>\ f(v)\in V_2</math> לבין <math>\ f(u)\in V_2</math> אז הגרפים איזומורפיים זה לזה.
 
==ראו גם==
 
* [[הומומורפיזם (אלגברה)|הומומורפיזם]]
* [[משפטי האיזומורפיזם (אלגברה)|משפטי האיזומורפיזם]]