מספר טרנסצנדנטי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Galabra (שיחה | תרומות)
כל מספר רשלם הוא גם רציונלי
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
אין תקציר עריכה
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''מספר טרנסצנדנטי''' הוא [[מספר]] שאינו [[מספרמאפס אלגברי|אלגברי]],אף כלומר,פולינום מספר שאינו מהווה פתרון של [[משוואה פולינומית]] (שונה מאפס) שמקדמיה הםבעל [[מספר רציונלי|מספריםמקדמים רציונליים]]. מספרים טרנסצנדנטיים נודעים הם ה[[קבוע מתמטי|קבועים המתמטיים]] [[פאי|&pi;]] ו-[[e (קבוע מתמטי)|e]]. כל מספר טרנסצנדנטי הוא [[מספר אי-רציונלי]], אך ההיפך אינו נכון: <math>\sqrt{2}</math>, למשל, הוא מספר אי רציונלי שאינו מספר טרנסצנדנטי, שכן הוא פתרון למשוואה הפולינומית ''x''<sup>2</sup> &minus; 2 = 0. למונח הוצע גם השם העברי '''מספר נעלה'''. מספר שאינו טרנסצנדנטי נקרא '''[[מספר אלגברי|אלגברי]]'''.
 
במבט ראשון נראים המספרים הטרנסצנדנטיים כחריגים, וברור שאין אנו מרבים לפגוש אותם בחיי היומיום, אך ניתן להוכיח שמרביתש[[הוכחת האי-מנייה הראשונה של קנטור|כמעט כל המספרים הם דווקא מספרים טרנסצנדנטיים]]. במינוחתכונה מתמטי:זו מביןהוכחה כלבשנת ה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים1874]], שעל ידי [[עוצמהגאורג (מתמטיקה)|עוצמתםקנטור]], היאשהראה <math>\aleph</math>,שעוצמת עוצמתקבוצת המספרים שאינם טרנסצנדנטייםהאלגבריים היא <math>\aleph_0</math> (קרי: [[אלף אפס]]), ולכןבעוד עוצמתשעוצמת קבוצת המספרים הטרנסצנדנטיים היא <math>\aleph = 2^{\aleph_0}</math>. בניסוח אחר: [[הוכחת האי-מנייה הראשונה של קנטור|כמעט כל המספרים הם טרנסצנדנטיים]]. תכונה זו הוכחה על ידי [[גאורג קנטור]] בשנת [[1874]].
 
ההוכחה שמספר נתון כלשהו הוא מספר טרנסצנדנטי איננה פשוטה. קיומם של מספרים טרנסצנדנטיים הוכח לראשונה בשנת [[1844]] על ידי המתמטיקאי הצרפתי [[ז'וזף ליוביל]] והתוצאה קרויה על שמו [[משפט ליוביל (קירוב דיופנטי)|משפט ליוביל]]. על סמך המשפט נתן ליוביל בשנת [[1851]] דוגמה ראשונה למספר טרנסצנדנטי הנקרא [[קבוע ליוביל]]: