מערכת משוואות ליניאריות – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ תמונות - הסבה לעברית, תיקון פרמטרים# |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 6:
מערכת כללית של m משוואות עם n נעלמים <math>x_1,\dots,x_n</math> יכולה להיכתב בצורה הבאה:
:<math>\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2
\vdots\;\;\; &&
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2
\end{alignat}</math>
כאשר <math>a_{1_1},\ a_{1_2},...,\ a_{m_n}</math> הם המקדמים של המשתנים ו-<math>b_1,\ b_2,...,b_m</math> הם '''המקדמים החופשיים''' במשוואות.
שורה 25:
\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}
</math>
הצגה כזאת מאפשרת שימוש בתכונות של [[מרחב וקטורי]]. לדוגמה, האוסף של הצירופים הלינארים של הווקטורים בצד שמאל נקרא ה[[קבוצה פורשת|קבוצה הפורשת]] שלהם, ולמערכת יש פתרון רק כאשר הווקטור בצד ימין נמצא בקבוצה הזאת. במקרה כזה, הפתרון הוא מקדמי ההצגה. הבחנה זו מובילה ל[[משפט רושה קפלי]], הקובע שלמערכת יש פתרון אם ורק אם דרגת המטריצה של המקדמים שווה לדרגת המטריצה שלה מוסיפים את הווקטור הקבוע. אם אפשר להציג כל וקטור
===הצגה באמצעות מטריצות===
שורה 69:
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& 0 \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& 0 \\
\vdots\;\;\; &&
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& 0. \\
\end{alignat}</math>
שורה 110:
:<math>\ y = m_2 x + n_2</math>
כל משוואה כזו (מעל הממשיים) מגדירה [[ישר]] במישור האוקלידי, ופתרון המערכת הוא נקודת החיתוך בין שני הישרים. למערכת '''אין פתרון''' אם שני הישרים שונים אך [[ישרים מקבילים|מקבילים]] זה לזה, ולפיכך אינם נחתכים. במצב זה [[שיפוע]]י הישרים שווים, כלומר
===התנהגות כללית===
באופן כללי, התנהגות המערכת נקבעת על פי היחס בין מספר הנעלמים למספר המשוואות:
# בדרך כלל, למערכת עם יותר נעלמים מאשר משוואות, יהיו אינסוף פתרונות
# בדרך כלל, למערכת עם אותו מספר נעלמים ומשוואות יהיה פתרון יחיד.
# בדרך כלל, למערכת עם יותר משוואות מאשר נעלמים לא יהיו פתרונות.
שורה 129:
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 8 &
\end{alignat}</math>
מחלצים את <math>\ x</math> מהמשוואה הראשונה ומקבלים
:<math>\begin{alignat}{5}
-4y &&\; + \;&& 12z &&\; = \;&& -8 & \\
-2y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& -2 &
\end{alignat}</math>
מחלצים את <math>\ y</math> מהמשוואה הראשונה ומקבלים
:<math>\begin{alignat}{7}
x &&\; = \;&& 5 &&\; + \;&& 2z &&\; - \;&& 3y & \\
שורה 140:
z &&\; = \;&& 2 && && && && &
\end{alignat}</math>
הצבת <math>\ z=2</math> במשוואה השנייה נותנת
לכן הפתרון הוא השלשה <math>\ (x,y,z)=( -15,8,2)</math>.
שורה 159:
:<math>\ c \mathbf{x} + d \mathbf{y} = f</math>
בנעלמים x ו y (מודגשים), הפתרון נתון על ידי הנוסחאות <math> \mathbf{x} = \frac { \begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { ed - bf \over ad - bc}</math>
== המשמעות הגרפית של הפתרונות ==
ישרים יכולים:
1.
2. להיות מקבילים.
שורה 170:
3. להתלכד.
המצב של הישרים ישפיע על מספר הפתרונות של המערכת. עבור מערכת הנתונה בצורה המפורשת
פתרון אחד
כאשר הישרים חותכים אחד את השני בנקודה אחת למערכת יהיה פתרון אחד ויחיד, והמשמעות הגאומטרית היא שלישרים שיפוע שונה. מבחינת המשוואות, למשוואות יהיה פתרון יחיד.
שורה 179:
== חקירה ==
כאשר המערכת נתונה בצורה שאין מספרים רק מקדמים,ׁ ניתן לנסח תנאים על המקדמים A, B ו- C מתוך הקשר בינם לבין המקדמים של המשוואה המפורשת, m
1.
על מנת שלמערכת יהיה פתרון יחיד צריך שיתקיים:
אם נכפיל משוואה זו ב-
<math>
שורה 187:
</math>
▲תתקבל המשוואה :
<math>
\dfrac{A_1}{A_2}
\neq
\dfrac{B_1}{B_2}
</math>
כלומר:
אם היחס בין מקדמי המשתנים של
2.
<math>
m_1
שורה 206 ⟵ 205:
=
m_2
</math>
וגם
<math>
n_1
שורה 217 ⟵ 216:
=
n_2
</math>
דוגמה לחקירה היא התרגיל הבא:
שורה 233 ⟵ 232:
תחום ההגדרה של התרגיל:
<math>a\neq 2
<math>
שורה 255 ⟵ 253:
\dfrac{a+2}{2(a-3)}
</math>
פתרון יחיד:
שורה 297 ⟵ 294:
לדוגמה:
<math>
שורה 356 ⟵ 352:
<math>(3a,a-3)</math>
{{אלגברה לינארית}}
| |||