חבורה טופולוגית – הבדלי גרסאות

כל תת-חבורה H של חבורה טופולוגית G יורשת ממנה גם את המבנה האלגברי וגם את ה[[טופולוגיה מושרית|מבנה הטופולוגי]], וכך היא מהווה חבורה טופולוגית בעצמה. גם מרחב המנה <math>\ G/H</math> הוא מרחב טופולוגי, עם טופולוגיית המנה, וההטלה <math>\ G\rightarrow G/H</math> היא [[פונקציה פתוחה|פתוחה]]. עם זאת, כדי שיהיו למרחב המנה תכונות מוצלחות, תת-החבורה חייבת לקיים תנאים טופולוגיים: <math>\ G/H</math> הוא [[מרחב האוסדורף]] אם ורק אם H [[קבוצה סגורה|סגורה]], ו- <math>\ G/H</math> [[טופולוגיה דיסקרטית|מרחב דיסקרטי]] אם ורק אם H [[קבוצה פתוחה|פתוחה]]. מכאן נובעת עובדה חשובה: כל תת-חבורה פתוחה היא גם סגורה (ולכן לחבורה טופולוגית [[מרחב קשיר|קשירה]] לא יכולות להיות תת-חבורות פתוחות כלל).

המשפחה החשובה הראשונה כוללת את החבורות הטופולוגיות המקיימות את [[מרחב האוסדורף|תכונת האוסדורף]]. חבורה טופולוגית היא כזו אם ורק אם תת-החבורה <math>\ \left\{1\right\}</math> היא סגורה. כל חבורה טופולוגית היא [[מרחב רגולרי לחלוטין|רגולרית לחלוטין]], וכל חבורה טופולוגית האוסדורף היא [[מרחב טיכונוף]]. בחבורת האוסדורף ההעתקה <math>\ G\rightarrow G/H</math> היא סגורה, והמכפלה של כל תת-קבוצה סגורה ב[[קבוצה קומפקטית]] היא סגורה. למעשה, [[מרחב T0|תכונת T0]] מספיקה כדי להבטיח שהחבורה תקיים את תכונת האוסדורף. תת-חבורה היא פתוחה אם ורק אם הוא סגורה ובעלת אינדקס סופי.

\mathbb{Z}/p^2 \mathbb{Z} \leftarrow \mathbb{Z}/p^3 \mathbb{Z} \leftarrow \dots \leftarrow \mathbb{Z}_p</math>. חבורות אלה מצוידות ב[[הטופולוגיה הפרו-סופית|טופולוגיה הפרו-סופית]], שתחתיה הן מהוות [[חבורה קומפקטית|חבורת האוסדורף קומפקטית]] ובלתי קשירה לחלוטין.

למעשה, כל חבורה קומפקטית והאוסדורף שהיא [[מרחב בלתי קשיר לחלוטין|לא-קשירה לחלוטין]], מהווה חבורה פרו-סופית. כאשר G פרו-סופית, תת-חבורה H היא פתוחה אם ורק אם היא בעלת [[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] סופי. תת-חבורה H היא סגורה (ונורמלית), אם ורק אם היא מהווה חיתוך של חבורות פתוחות (ונורמליות); תכונה שקולה לכך היא שהטופולוגיה המושרית מ- G ל- H תהיה בעצמה פרו-סופית. אם H סגורה ונורמלית, אז חבורת המנה <math>\ G/H</math> היא פרו-סופית בעצמה.