ויקיפדיה

מכפלה ריקה – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ שוחזר מעריכות של יהודה חסון (שיחה) לעריכה האחרונה של דוד שי
אין תקציר עריכה
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''מכפלה ריקה''' היא [[מכפלה]] ללא [[מחלק|גורמים]], והיא שווה ל[[איבר יחידה|יחידה]] הכפלית, [[1 (מספר)|1]]. המכפלה הריקה מוגדרת כדיכמקרה לשמורפרטי של ההגדרה הכללית של מכפלה, והיא שומרת על ה[[עקביות (לוגיקה)|עקביות]] של תכונות שימושיות הקשורות בכפל.
 
לאחרכפי שמגדיריםשיוסבר מכפלה של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצת]] [[מספר]]יםלעיל, טבעי להגדיר מכפלה של [[קבוצה ריקה]] של מספרים. מסתבר שההגדרהההגדרה הכי טבעית למכפלה ריקה היא איבר היחידה 1, האדיש לכפל. זאת באופן דומה להגדרת ה[[סכום ריק|סכום הריק]] כ[[איבר האפס|איבר היחידה החיבורי]], [[0 (מספר)|0]]. צורות מוכרות של המכפלה הריקה הן הטענות <math>\ a^0=1</math> לכל a שונה מאפס, <math>\ 0!=1</math> (אפס [[עצרת]]) ו-<math>\prod_{i=m}^{n} x_{i}=1</math> לכל n<m. הגדרות אלו עקביות עם התכונות של הפעולות הללו. לדוגמה לפי חוקי [[חזקה (מתמטיקה)|חזקות]]: <math>\ a^0 = a^{1-1} = a^1\cdot a^{-1}= a/a = 1</math>.
 
צורות מוכרות של המכפלה הריקה הן הטענות <math>\ a^0=1</math> לכל a שונה מאפס, <math>\ 0!=1</math> (אפס [[עצרת]]) ו-<math>\prod_{i=m}^{n} x_{i}=1</math> לכל n<m. הגדרות אלו עקביות עם התכונות של הפעולות הללו. לדוגמה לפי חוקי [[חזקה (מתמטיקה)|חזקות]]: <math>\ a^0 = a^{1-1} = a^1\cdot a^{-1}= a/a = 1</math>.
 
[[משפט (מתמטיקה)|משפט]]ים רבים מניחים את קיום המכפלה הריקה. לדוגמה קיומה של המכפלה הריקה מאפשר את תקפות [[המשפט היסודי של האריתמטיקה]] לכל [[מספר טבעי]] כולל 1.
שורה 13 ⟵ 11:
 
מצד שני, ישנם טיעונים בזכות חוסר הגדרה של הביטוי. לדוגמה לפי חוקי חזקות שהודגמו קודם <math>\ a^0 = a/a </math>, ביטוי שאם נציב בו a=0 נקבל [[חלוקה באפס]] שהיא פעולה לא מוגדרת. ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]] ניתן למצוא [[גבול (מתמטיקה)|גבול]]ות רבים הנותנים תוצאות שונות לביטוי 0<sup>0</sup> ולכן בתחום זה נהוג שלא להגדיר את הביטוי.
 
==מדוע המכפלה הריקה שווה ל-1==
 
יש שתי דרכים (מתלכדות כמובן) להגדיר את המכפלה של קבוצה סופית של מספרים טבעיים. דרך אחת היא להגדיר את המכפלה של שני מספרים (באינדוקציה), ואז להגדיר את המכפלה של כל קבוצה סופית באינדוקציה על גודל הקבוצה: <math>\ a_1 \cdots a_n = (a_1 \cdots a_{n-1})a_n</math>. נוסחה זו מגדירה את המכפלה של שלושה מספרים או יותר בעזרת ההצבה <math>\ n\geq 2</math>. אם מציבים בה n=1 מתברר שהמכפלה הריקה היא איבר היחידה הכפלי.
 
דרך נוספת להגדיר את המכפלה <math>\ a_1 \cdots a_n</math> כעוצמה של המכפלה הקרטזית של קבוצות בגדלים <math>\ a_1, \dots,a_n</math>. אבל המכפלה הקרטזית של משפחה ריקה של קבוצות היא קבוצה בת איבר אחד (ראו להלן), ולכן המכפלה הריקה שווה ל-1.
 
==הכללות==
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/מכפלה_ריקה"