ויקיפדיה

מודל איזינג – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
מ הגהה
שורה 1:
'''מודל איזינג''' (על שמו של [[ארנסט איזינג]]) הוא [[מודל מתמטי]] ב[[מכניקה סטטיסטית]], המשמש לתיאור [[פרומגנטיות|פרומגנט]], או כל מערכת שקולה של יחידות הנמצאות ב[[סריג (גאומטריה)|סריג]] ומבצעות [[אינטראקציית שכנים קרובים]]. זהו המודל הראשון (והפשוט ביותר) במשפחה רחבה של מודלים מבוססי [[ספין]], אשר מתארים את התנהגותם של חומרים פרומגנטיים ב[[טמפרטורה|טמפרטורות]] ו[[שדה מגנטי|שדות מגנטיים]] שונים. המודל משמש גם לתיאור מערכות שונות שאינן מגנטיות ומשמש מודל חשוב בתחומי [[מעבר פאזה|מעברי הפאזה]].
 
את המודל פיתח [[וילהלם לנץ]] אשר נתן אותו לתלמידו [[ארנסט איזינג]] כנושא מחקר ל[[דוקטורט]]. ב-1925 איזינג, שעל שמו קרוי המודל, פתר את המודל עבור ממד אחד ומצא שלא מתקבל בו מעבר פאזה ב[[טמפרטורה]] סופית . על סמך זאת הסיק איזינג בטעות כי במודל לא מתרחש מעבר פאזה גם במימדבממד גבוה יותר. מאוחר יותר, ב-1944 הוכיח [[לארס אונסגר]] כי במודל איזינג דו-ממדי מתקבל מעבר פאזה. תוצאה זו נחשבת לחשובה מאוד בתחום הפיזיקה הסטטיסטית בפרט ובתחום הפיזיקה התאורטית בכלל.
 
==תיאור המודל==
===הנחות יסוד===
המודל מניח כי בכל נקודת סריג מצוי [[מומנט מגנטי]], או '[[ספין]]' S, אשר ערכו הוא [[בסיס בינארי|בינארי]] (לרוב מיוצג בתור {{D}}+1 + ו ו־{{D}}-1-), כאשר ביצוגבייצוג מרחבי הספין מתואר כחץ שמצביע "מעלה" או "מטה". הספינים מקובעים לנקודות הסריג ואינם יכולים לנוע, אך יכולים לשנות את ערכם מערך בינארי אחד לשני, בהתאם לאינטרקאציהלאינטראקציה ביניהם. ▼
 
▲המודל מניח כי בכל נקודת סריג מצוי [[מומנט מגנטי]], או '[[ספין]]' S, אשר ערכו הוא [[בסיס בינארי|בינארי]] (לרוב מיוצג בתור 1 + ו 1-), כאשר ביצוג מרחבי הספין מתואר כחץ שמצביע "מעלה" או "מטה". הספינים מקובעים לנקודות הסריג ואינם יכולים לנוע, אך יכולים לשנות את ערכם מערך בינארי אחד לשני, בהתאם לאינטרקאציה ביניהם.
 
[[תנאי שפה|תנאי השפה]] בבעיה לרוב נלקחים כמחזוריים, כדי להתקרב לגבול התרמודינמי של מערכת אינסופית.
 
===האינטראקציה===
 
[[המילטוניאן]] האינטראקציה במודל איזינג, ללא [[שדה מגנטי]] חיצוני, מתואר על ידי:
 
שורה 34 ⟵ 32:
 
=== יישום למודל: מציאת הטמפרטורה בה חומר מאבד את תכונותיו המגנטיות===
ניתן לקבוע בקירוב טוב את השדה המגנטי B שיוצר חומר מגנטי בטמפרטורה T לפי [[התפלגות בולצמן]]. בהינתן <math>N^+</math> אטומים שוקטורשווקטור המומנט המגנטי שלהם מצביע בכיוון השדה המגנטי העצמי של החומר ו-<math>N^-</math> אטומים שוקטורשווקטור המומנט המגנטי שלהם מצביע בכיוון הפוך לכוון השדה המגנטי , השדה המגנטי שנוצר הוא '''<math>(N^+ - N^{-})\mu_0\mu\frac{\rho}{m}</math> (1)''' , כאשר μ המומנט המגנטי של אטום בודד, ρ צפיפות החומר ,m מסת אטום בודד ו-<math>\mu_0</math> [[פרמאביליות|פרמיבליות הריק]]. לפי התפלגות בולצמן של רמות אנרגיה: נקבל שהיחס בין <sup>+</sup>N ל-N<sup>-</sup> הוא : <math>\frac{N^+}{N^-}=e^\frac{\mu B}{kT}</math> '''(2)''' כאשר k קבוע בולצמן. נציב את 1 ב-2 ונקבל: <sup><math>\frac{N^+}{N^-}=e^{\mu(N^+ - N^{-})\mu_0\mu\frac{\rho}{m}\frac{1}{kt}}</math></sup>
'''<math>(N^+ - N^{-})\mu_0\mu\frac{\rho}{m}</math> (1)''' , כאשר μ המומנט המגנטי של אטום בודד, ρ צפיפות החומר ,m מסת אטום בודד ו-<math>\mu_0</math> [[פרמאביליות|פרמיבליות הר]]יק.. לפי התפלגות בולצמן של רמות אנרגיה: נקבל שהיחס בין <sup>+</sup>N ל-N<sup>-</sup> הוא : <math>\frac{N^+}{N^-}=e^\frac{\mu B}{kT}</math> '''(2)''' כאשר k קבוע בולצמן. נציב את 1 ב-2 ונקבל: <sup>''' '''<math>\frac{N^+}{N^-}=e^{\mu(N^+ - N^{-})\mu_0\mu\frac{\rho}{m}\frac{1}{kt}}</math></sup>
 
פתרון נומרי של המשוואה נותן בקירוב טוב את N<sup>+</sup> ו-N<sup>-</sup> ואת השדה המגנטי B בטמפרטורה T. בנקודת טמפרטורת איבוד המגנטיות מתקיים שהשדה המגנטי העצמי שנוצר על ידי שינוי אקראי קטן בערך <math>N^+ - N^{-}</math> לא חזק מספיק כדי לשמור על האטומים שמצביעים בכיוונו מצביעים בכיוונו, כלומר בניסוח מתמטי:
שורה 48 ⟵ 45:
 
==מודלים דומים==
 
מודל איזינג הוא מודל פשטני ביותר לתיאור פרומגנט. קיימים מודלים רבים ומורכבים יותר, אשר בהם לספינים רמות חופש נוספות, החל ממספר מצבים גדול יותר מ-2 ([[מודל פוץ]]) וכלה בחופש מרחבי מוחלט ([[מודל הייזנברג (קלאסי)|מודל הייזנברג]]).
 
==שימושים מחוץ לפיזיקה==
 
בשל אופיו הבינארי הפשוט, מודל איזינג הוא שיטה נוחה לפתרון [[אופטימיזציה (מתמטיקה)|בעיות אופטימיזציה]].
הפרמטרים השונים של הבעיה ממודלים לספינים על גביש, כאשר עוצמת הקשר ביניהם וקרבתם נקבעים לפי תנאי הבעיה, ופונקציית המחיר היא השקול לאנרגיה. למערכת כזו נותנים להתייצב במינימום האנרגיה, וכך מקבלים פתרון אופטימלי. שיטה זו ידועה בשם simulated annealing.
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/מודל_איזינג"