דיפרנציאל (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

מכיוון שאנו מדברים על "דיפרנציאל בנקודה" ניתן להסתכל על הדיפרנציאל באופן כללי בתור פונקציה, שמתאימה לכל נקודה את הדיפרנציאל המתאים לאותה נקודה. זהו המובן הכללי של דיפרנציאל של פונקציה. כשם שנגזרת של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד היא פונקציה, שמתאימה לכל נקודה מספר (המספר הנגזר), גם דיפרנציאל מתאים לכל נקודה את מטריצת יעקובי של אותה הנקודה.

 

במקרה הפרטי של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד, <math>\ y=f(x)</math>, אם הפונקציה גזירה בנקודה <math>\ x_0</math> פירוש הדבר הוא שקיים ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] הבא: <math>\ \lim_{\Delta x\rarr 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}</math>. אם נסמן גבול זה בתור <math>\ f'(x_0)</math>, נשים לב שמתקיים <math>\ f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)</math>. (ניתן לראות זאת על ידי חלוקה ב-<math>\ \Delta x</math> והשאפתו לאפס).