משפט קיילי – הבדלי גרסאות

למשפט יש הכללה חשובה, הידועה בשם ה'''עידון של משפט קיילי''': אם ל- <math>\ G</math> יש תת-חבורה <math>\ H</math> מאינדקס <math>\ n</math>, אז יש העתקה <math>\ G\rightarrow S_n</math> שה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] שלה מוכל ב- <math>\ H</math>. נובע מזה שלחבורה עם תת-חבורה מאינדקס <math>\ n</math> מוכרחה להיות [[תת חבורה נורמלית]] מאינדקס המחלק את <math>\ n!</math>, כי אנחנו נקבל לפי משפט [[משפטי האיזומורפיזם|האיזומורפיזם]] הראשון ש <math>G/ker(\psi )\cong Im(\psi)\leq S_n</math>. בפרט: לאם נסתכל על [[חבורה פשוטה|החבורות הפשוטות]] ,שהם לא צקליות מסדר ראשוני, מכיוון ש <math>ker(\psi)\triangleleft G</math> אז הגרעין טריוויאלי, ולכן נקבל<math>G\cong Im(\psi)\leq S_n</math> ,(כי אם <math>ker(\psi) \cong G </math> אז H נורמלית ולכן טריוויאלית , והטענה טריוויאלית ) אם G מסדר שאינו מחלק את <math>\ n!</math>,

אז <math>G\cong Im(\psi)\leq S_n</math> לא יכול להתקיים, ולכן אין תת-חבורות מאינדקס קטן מ-<math>\ n</math>. את העידון מוכיחים בעזרת הפעולה של G על אוסף המחלקות <math>\ G/H</math> (גם כאשר אוסף זה אינו [[חבורת מנה]]), על ידי כפל משמאל: <math>\ g : xH \mapsto gxH</math>. הפעולה הזו אינה בהכרח נאמנה; אוסף האיברים הפועלים פעולה טריוויאלית שווה לחיתוך כל תת-החבורות הצמודות ל- H, אוסף זה נקרא [[תת-חבורה נורמלית|הליבה]] של H .