הבדלים בין גרסאות בדף "טור (מתמטיקה)"

clean up באמצעות AWB
(clean up באמצעות AWB)
(זהו [[טור (מתמטיקה)#טור טלסקופי|טור טלסקופי]], כי מפתיחת הסוגריים מקבלים: <math>q^n-q^{n-1}+q^{n-1}-\dots-q+q-1</math>)
 
כעת, הסכום של [[טור (מתמטיקה)|טור]] בן <math>n</math> איברים, שאיברו הראשון הוא <math>a_1</math> ומנתו <math>q</math> הוא:
: <math>S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+...+a_1q^{n-1} = a_1 \cdot (q^{n-1}+q^{n-2}+...+q+1) </math>.
לכן, אם נכפול את שני האגפים ב-<math>q-1</math> (הערה: עבור ה[[מקרה פרטי|מקרה הפרטי]] <math>q=1</math>, בו יתרחש כפל בעייתי ב[[0 (מספר)|אפס]], הסדרה ההנדסית תהיה גם [[סדרה קבועה]] שכל איבריה זהים (כפל ב-1, [[איבר יחידה|איבר היחידה]] בפעולת ה[[כפל]]), ועבורה נוסחת הסכום מאוד פשוטה לחישוב: <math>S_n=n \cdot a_1</math>), נקבל מה[[שוויון (מתמטיקה)|שוויון]] שהראינו קודם שמתקיים:<math>(q-1)S_n=a_1(q^n-1)</math>, ומכאן: <math>S_n=a_1 \cdot \frac{q^n-1}{q-1}</math>.
 
נניח כי <math>1+2+4+8+...=A</math> כאשר <math>A</math> מספר ממשי כלשהו. כעת נכפיל את הטור כולו ב-2 ונקבל: <math>2+4+8+...=2A</math> ומכאן כי <math>2A=A-1</math> וקיבלנו
<math>A=-1</math>. מכאן שניתן להשתמש באריתמטיקה של טורים רק אם הטור מתכנס (אבל ראו "[[טור המספרים הטבעיים]]").
 
כשאנו באים לבדוק התכנסות של טור, בצורה אינטואיטיבית, הרעיון הוא כזה: כשאנו מסכמים את אברי הטור, "נעצור ונבדוק" כל הזמן את הסכום שלנו עד עכשיו. אם נראה שהסכום "הולך ומתקרב" למספר סופי כלשהו, זה אומר שהטור מתכנס, ואילו אם אנחנו רואים שהטור לא מתקרב לאף מספר (גדל/קטן כל הזמן, או "מתנדנד" בין כמה ערכים) הרי שהטור אינו מתכנס.
=== התכנסות של טור אינסופי ===
 
יהי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> טור. נגדיר '''סכום חלקי''' <math>S_n</math> בתור סכום <math>n</math> האיברים הראשונים של הטור, כלומר <math>S_n=\sum_{k=1}^n a_k</math>. הטור מתכנס למספר ממשי <math>L</math>, אם סדרת הסכומים החלקיים <math>\left\{S_n\right\}_{n=1}^\infty</math> [[גבול (מתמטיקה)|מתכנסת]] למספר זה. אם טור לא מתכנס, אומרים שהוא '''מתבדר'''.
 
תנאי הכרחי (אך לא מספיק) להתכנסות טור הוא: האיבר הכללי של הסדרה שואף לאפס. ישנם [[מבחני התכנסות לטורים|מבחני התכנסות]] שבעזרתם אפשר להוכיח שטור מסוים מתכנס. אולם, מבחנים אלה בדרך כלל אינם נותנים דרך ל'''[[חישוב]]''' הסכום. חישוב סכום של טורים הוא לרוב משימה קשה למדי.
הטיפול הכללי ביותר בנושא ניתן במסגרת תורת Weiner-Pitt, המאפיינת לגמרי גרעינים.
 
==== דוגמאות ====
 
אומרים שהטור <math>\sum_{n}a_n</math> מתכנס לערך <math>S</math> במובן של [[נילס הנריק אבל|אבל]], אם הגבול של <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n</math> כאשר <math>x</math> שואף ל-1 מלמטה, שווה ל-<math>S</math>. כל טור מתכנס (במובן הרגיל) מתכנס לאותו ערך גם במובן של אבל; לעומת זאת, הטור <math>\sum (-1)^{n+1}n</math> כמובן אינו מתכנס במובן הרגיל, וסכומו במובן של אבל הוא רבע.
 
שיטת סיכום אחרת מיוחסת לצ'זרו (Cesàro). נסמן ב- <math>S_n</math> את סדרת הסכומים החלקיים של טור נתון. הטור מתכנס במובן הרגיל אם הסדרה <math>\ s_n</math> מתכנסת. אומרים שהטור "מתכנס במובן של צ'זרו" או שהוא "טור מטיפוס C-1", אם הסדרה
* [http://www.american.edu/cas/mathstat/People/kalman/pdffiles/Sixways.pdf שש דרכים לסכם טור]{{קישור שבור|14 בדצמבר 2016}}
* {{לא מדויק|134|טרטורי טורים}}
 
 
 
{{אנליזה מתמטית}}