פאון – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
clean up באמצעות AWB
שורה 13:
==טרמינולוגיה==
[[קובץ:small_rhombicosidodecahedron.png||שמאל|ממוזער|120px|[[רומביקוסידודקהדרון]]]]
ה[[טרמינולוגיה]] המיוחדת ל[[פאון|פאונים]]לפאונים, כגון ה[[איקוסידודקהדרון קטום|איקוסידודקהדרון הקטום]] וה[[קובייה מסותתת|הקסגון המסותת]], היא עניין סבוך ומבלבל. השמות נגזרים בדרך כלל מ[[יוונית]] ומ[[לטינית]], והם נסמכים על הכללים שקבע [[יוהנס קפלר|קפלר]], שגילה (מחדש) את ה[[פאון ארכימדי|פאונים הארכימדיים]] ועסק רבות בתחום.
 
=== מספר הפאות ===
בהכללה מן המקרה הדו-ממדי, שבו נקרא כל מצולע על-פי מספר הצלעות שלו, שמו של פאון אמור להציג בראש וראשונה את מספר הפאות. תוספות לשם מתארות משהו מן המבנה המרחבי, או מצביעות על קשר בין הפאון המדובר לפאון פשוט יותר.
 
הבסיס לכל שם הוא מספר הצלעות, הנגזר מן התחיליות ה[[יוונית עתיקה|יווניות]], והסיומת הקבועה '-הדרון'. התחיליות החשובות הן דו- (2), טטר- (4), הקס- (6), אוקט- (8), דקה- (10), איקוס- (20), הקטו- (100). כדי לבטא מספרים אחרים, מחברים תחיליות. כך למשל [[דודקהדרון]] הוא פאון בן 12 פאות, ול[[איקוסידודקהדרון]] יש 20+10+2=32 פאות. הצירוף -קונט- מבטא קבוצות של עשר, כך שלטטרקונטהדרון יש 40 פאות.
 
בעברית מקובלים גם שמות אלו, שנגזרו מיוונית, וגם השמות המעוברתים [[ארבעון]] (טטרהדרון), [[תריסרון]] (=דודקהדרון), [[עשרימון]] (איקוסהדרון), וכדומה.
שורה 25:
במקרה הדו-ממדי, המונח "[[מתומן]]" עשוי לתאר כל מצולע בן 8 צלעות, בעוד ש"מתומן משוכלל" הוא מתומן שכל זויותיו שוות. באופן דומה, "דודקהדרון" עשוי להיות כל פאון בן 12 צלעות, ו"דודקהדרון משוכלל" הוא דודקהדרון שכל פאותיו מצולעים משוכללים. בפאונים, רמת השכלול שניתן להגיע אליה מורכבת יותר: ייתכן שכל הזויות המרחביות יהיו חופפות, שכל הפאות יהיו משוכללות וחופפות זו לזו, וכדומה. כל אחת מתכונות אלה עשויה לזכות את הפאון בתואר "משוכלל", ולעתים קרובות נדרש ביאור נוסף כדי לאפיין את הפאון באופן חד-משמעי. ה[[קובייה]], אם-כך, אינה אלא הקסהדרון משוכלל.
 
סיומות אחרי המלה מציגות את מבנה הפאות, במקרה שאלו אינן משוכללות. למשל, "איקוסיטטרהדרון מחומש" הוא פאון בן 24 פאות, שכולן [[מחומש]]ות (בדרך כלל הכוונה היא למחומשים משוכללים). ל"דודקהדרון מעוין" יש 12 פאות בצורת [[מעוין]] (בשפות הלטיניות מקובלת במקרה כזה התחילית רומבי-). הצורה "דלתוני" מתארת פאון שבו כל פאה היא בצורת [[דלתון]]; באנגלית מקובלת כאן התחילית טרפזו-, בהתאם למינוח ה[[אנגליה|אנגלי]], ולא ה[[ארצות הברית|אמריקאי]]).
 
סיומת המתארת את צורת הפאה עשויה לאפיין את הפאון כחבר במשפחה אינסופית מוכרת. לדוגמה, "מנסרה מתומנת" היא [[מנסרה (גאומטריה)|מנסרה]], שהבסיסים שלה מתומנים. ה"דו-פירמידה המתושעת" מתקבלת מהדבקת שתי פירמידות, שלכל אחת מהן בסיס מתושע ותשע פאות משולשות, בבסיסיהן.
שורה 32:
[[קובץ:Truncated_hexahedron.png|שמאל|ממוזער|120px|[[קובייה קטומה]], המתקבלת מקיטום הפינות של [[קובייה]] והחלפתן במשולשים.]]
[[קובץ:Snub_hexahedron.png|שמאל|ממוזער|120px|[[קובייה מסותתת]], המתקבלת מסיתות המקצועות של ה[[קובייה]] לזוגות של משולשים.]]
פאונים מעניינים רבים מתקבלים בדרכים שונות מפאונים אחרים. במקרה כזה המינוח עשוי להתייחס לפאון-האב, תוך ציון האופן שבו נוצר הפאון החדש.
 
הצירוף -קיס- (-kis-) מתאר פירוק כל אחת מן הפאות של הפאון הישן למשולשים, הנפגשים כולם בנקודה אחת, במרכז הפאה. אם פעולה זו נעשתה בפאות הריבועיות של קובייה, הפאון הנוצר נקרא "קובייה קיסית", או "קובייה טטרקיסית" (משום שהפאות שהוחלפו היו טטרגונים, היינו מרובעים). "דודקהדרון קיסי" (או "פנטקיסי") מתקבל מדודקהדרון, על ידי החלפת כל פאה מחומשת בחמישה משולשים הנפגשים בנקודה.
 
המונח '''קטום''' (truncated) מתייחס לתהליך של קיטום הפינות, כבאיור משמאל. הקיטום מוסיף פאה במקומו של כל קודקוד (מספר הצלעות בפאה החדשה שווה למספר הפאות שנפגשו בקודקוד), ומכפיל את מספר הצלעות של כל פאה. קיים גם קיטום עמוק יותר, שבו מישורי החיתוך של הפינות נפגשים, ומכל פאה משוכללת נשארת פאה משוכללת בעלת אותו מספר צלעות. גם התוצאה של חיתוך כזה מתוארת במונח "קטום".
 
המונח '''מסותת''' (snub)
שורה 46:
==פאונים רב ממדיים==
[[קובץ:Peonim.PNG|שמאל|ממוזער|300px|מימין: [[ריבוע]] - פאון דו-ממדי, [[קובייה]] - פאון תלת-ממדי, [[היפרקובייה]] ארבע ממדית]]
המילה "פאון" משמשת בעברית גם לתיאור גוף מממד כלשהו (מ-2 ואילך) המורכב מ[[פאה (גאומטריה)|פאות]] (ב[[אנגלית]] polytope, להבדיל מפאון תלת-ממדי, הקרוי polyhedron).
 
את מספר הפאות מממד i של פאון P מסמנים ב-<math>\ f_i(P)</math>. לכל פאון בעל n קודקודים מתקימים החסמים <math>\ f_i(S(d,n)) \leq f_i(P) \leq f_i(C(d,n))</math>, כאשר <math>\ S(d,n)</math> הוא הפאון המגובב בממד d עם n קודקודים, המתקבל מגיבוב סימפלקס על אחת הפאות של <math>\ S(d,n-1)</math>; ו-<math>\ C(d,n)</math> הוא הפאון הציקלי, שהוא ה[[קמור]] של n נקודות (כלשהן) על העקום <math>\ (t,t^2,\dots,t^d)</math>. לדוגמה, לפאון הציקלי יש <math>{n \choose i}</math> פאות i-ממדיות עבור i<d/2.
 
==נוסחת אוילר==