לוגריתם טבעי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שוחזר מעריכות של 2A02:ED0:53A5:3300:F41E:80A5:A2A2:44EA (שיחה) לעריכה האחרונה של [[User:בריאן|ב... |
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: , |
||
שורה 46:
:<math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n\quad{\rm for}\quad \left|x\right|<1</math>
את הלוגריתם ניתן להגדיר גם עבור [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]], בצורה שתכליל את הגדרתו עבור מספרים ממשיים. אם מספר מרוכב נתון על ידי <math>\ z=re^{i\phi}</math> כאשר <math>\ r</math> הוא [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]] של המספר ו-<math>\ \phi</math> ה[[ארגומנט]] שלו, <math>\ -\pi<\phi\le\pi</math>
# ניתן לצמצם את התמונה לערכים עם חלק מרוכב שחסום בין שני קבועים. בצורה הזו מקבלים את הפונקציה החד ערכית: <math>\ \log(z)=\ln(r)+i\phi</math> כאשר <math>\phi \in [a , a+2\pi ]</math>. בדרך כלל קובעים את a להיות 0, ואז פונקציית הלוגריתם לא רציפה על המספרים הממשיים החיוביים. החלק המרוכב שלה "קופץ" מ- <math>2\pi </math> ל-0: לכל <math> \ x,h>0</math> ממשיים מתקיים <math>\lim_{h\to 0}[ \ln (x-ih)-\ln (x+ih)]=2\pi i</math> ).
| |||