טנזור – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות)
שורה 47:
יהי <math>\ \hat{e}_1 , ... , \hat{e}_n</math> בסיס למרחב הווקטורי V ואילו <math>\ \hat{f}^1 , ... , \hat{f}^n</math> בסיס למרחב הדואלי כך ש <math>\ \hat{f}^\mu ( \hat{e}_\nu ) = \delta^\mu_\nu</math> (כאשר <math>\delta^\mu_\nu</math> היא [[הדלתא של קרונקר]]). אזי כל טנזור ניתן להציג כמערך רב-ממדי של רכיבים באמצעות הגדרת פעולתו על כל אחד מאיברי הבסיס. הצורה הכללית לעשות זאת תובהר מהדוגמה הבאה:
 
* '''טנזור מדרגה 0 על 1''' , כלומר: <math>T ( \vec{v} \in V ) \in \mathbb{R}</math> , יוצג לפי רכיבים כ-
*: <math>\ T(\vec{v}) = T \left( \sum_{\mu} v^\mu \hat{e}_\mu \right) = \sum_i v^\mu T( \hat{e}_\mu ) \equiv \sum_i v^\mu T_\mu</math>
: כאשר השתמשנו בלינאריות של T והגדרנו <math>\ T_\mu = T( \hat{e}_\mu )</math> - אלו הם הרכיבים של הטנזור T . נשים לב שטנזור כזה הוא בעצם [[פונקציונל]] על וקטור, או '''וקטור קו-וריאנטי'''. טנזור כזה נקרא גם "חד-תבנית" או "one-form".
 
* '''טנזור מדרגה 1 על 0''' , כלומר: <math>S ( \tilde{\omega} \in V^* ) \in \mathbb{R}</math> , יוצג לפי רכיבים כ-
*: <math>\ S(\tilde{\omega}) = S \left( \sum_{\mu} \omega_\mu \hat{f}^\mu \right) = \sum_\mu \omega_\mu S( \hat{f}^\mu ) \equiv \sum_\mu \omega_\mu S^\mu</math>
: כאשר השתמשנו בלינאריות של S והגדרנו <math>\ S^\mu = S( \hat{f}^\mu )</math> - אלו הם הרכיבים של הטנזור S. נשים לב שטנזור כזה הוא בעצם [[פונקציונל]] על פונקציונל, כלומר '''וקטור קונטרה-וריאנטי''' (זאת כי <math>\ (V^*)^* = V</math>).
 
* '''טנזור מדרגה 1 על 1''' , כלומר: <math>R ( \tilde{\omega} \in V^*,\ \vec{v} \ \in V ) \in \mathbb{R}</math> , יוצג לפי רכיבים כ-
: <math>\ R( \tilde{\omega} , \vec{v} ) = R \left( \sum_{\mu} \omega_\mu \hat{f}^\mu , \sum_{\nu} v^\nu \hat{e}_\nu \right) = \sum_\mu \sum_\nu \omega_\mu v^\nu R( \hat{f}^\mu , \hat{e}_\nu ) \equiv \sum_{\mu , \nu} \omega_\mu v^\nu R^\mu \!\ _\nu = \sum_{\mu,\nu}{ \omega_\mu R^\mu \!\ _\nu v^\nu }</math>
: כאשר השתמשנו בלינאריות של R והגדרנו <math>\ R^\mu \!\ _\nu = R( \hat{f}^\mu , \hat{e}_\nu ) </math> - אלו הם הרכיבים של הטנזור R. מאחר שטנזור זה בעל שני אינדקסים ניתן להציג את רכיביו כ[[מטריצה]] אליה נוח להתייחס כאל [[העתקה לינארית]] המקבלת וקטור v ומחזירה וקטור אחר u הנתון על ידי <math>\ \vec{u} = R( \ \ , \vec{v} )</math> (שכן u מקבל פונקציונל ומחזיר לו מספר ממשי). ברכיבים: <math>\ u^\mu = \sum_{\nu}{ R^\mu \!\ _\nu v^\nu }</math> .
שורה 74:
: <math>\ \left\{ \partial_{x^i} = \left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right)_a \ \right\}_{i=1}^{n} </math>
בסיס זה נקרא "בסיס הנגזרות החלקיות המתאימות למערכת x".
זהו הבסיס השימושי ביותר למרחב המשיק והוא תלוי במערכת , המתאים למערכת שנבחרה.
 
=== הטנזור כגודל אינווריאנטי ===